Целочисленное равенство

[CliniqueHappy]

$\left \lfloor (1+\sqrt{3})^{2n+1} \right \rfloor=(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}$ Подскажите пожалуйста, не хочет решаться.Хотя-бы с чего правильно начать.Если степень суммы/ разности брать, то сокращаются дробные части, добавляются целочисленные понятно, что целое число будет, но как его равенство с левой частью доказывать?

[sergei1961]

Индукция?

[CliniqueHappy]

sergei1961 в сообщении #1235335 писал(а):

Индукция?

Только индукцией можно доказать?

[Someone]

Второе слагаемое по модулю меньше $1$ и отрицательно — докажите.
Правую часть распишите по формуле бинома Ньютона и убедитесь, что получается целое число.

[CliniqueHappy]

Someone в сообщении #1235338 писал(а):

Второе слагаемое по модулю меньше $1$ и отрицательно — докажите.
Правую часть распишите по формуле бинома Ньютона и убедитесь, что получается целое число.

Спасибо большое. Подустал и просчитался со вторым слагаемым), оно же не может быть больше единицы.Теперь все очевидно.

[Евгений Машеров]

А ещё правая часть это решение уравнения $x_{n+1}=2x_n+2x_{n-1}$ при начальных значениях 2 и 2. И по построению целочисленно. А второе слагаемое то положительно, то отрицательно и всегда меньше единицы.

[CliniqueHappy]

Хотел еще уточнить, в данном примере степени нечетные, они дают нижнее округление. А если степени четные, то это округление вверх получится?