Матрица элементарных преобразований

[PWT]

Матрица $A$ с помощью элементарных преобразований приведена к матрице $B$. Известно, что такое преобразование можно представить
в виде равенства $O_2O_1AO_3=B$, где $O_i$ соотвествуют матрицам элементарных преобразований. Найти подходящие $O_i$

$A=\begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 & 9\\ \end{pmatrix}\;\;\;\;$ ,$B=\begin{pmatrix} 4&5 &6 \\ 1 &3 &2 \\ 3 &3 &3\\ \end{pmatrix}$

По-началу я хотел взять $O_1=O_2=E$, а тогда $O_3=A^{-1}B$, но матрица $A$ необратима, ровно как и матрица $B$. Как тогда можно начать решение, подскажите, пожалуйста!

-- 20.07.2017, 21:29 --

Другая мысль. Я так понимаю, что здесь нужно в матрице $A$, например, для начала поменять первые 2 строчки местами. Видимо это можно сделать домножением на некоторую матрицу. Но вот как только найти эту самую матрицу и как узнать -- слева или справа нужно умножать? Далее можно из последней строчки вычесть вторую (ту вторую, которая была первой до первого преобразования) Опять это, видимо должно соотвестовать домножению на некоторую матрицу. Но вот какую? А как сделать строчку $1, 3, 2 $-- вообще не понятно

[lel0lel]

PWT в сообщении #1234952 писал(а):

но матрица $A$ необратима, ровно как и матрица $B$

Проверьте матрицу $B$, так как $\operatorname{\det}B=-9$.

[PWT]

Действительно, спасибо!

А можно ли сделать так?

Пусть $O_1=O_2=E$, тогда получаем $AO_3=B$, значить $A=BO_3^{-1}$, тогда $O_3^{-1}=B^{-1}A$, а значит $O_3=(B^{-1}A)^{-1}$.

Верно ли это?

Только вопрос -- ведь при элементарных преобразованиях количество строк и столбцов не изменилось, как мог поменяться ранг?) Как-то странно.

[lel0lel]

PWT в сообщении #1234977 писал(а):

как мог поменяться ранг?)

Вероятно, неправильная формулировка, поскольку $\operatorname{\det}{\left(AB\right)}=\operatorname{\det}{A}\operatorname{\det}{B}$.

[PWT]

В исходной формулровке у меня была опечатка. Извините, пожалуйста!

Матрица $B$ должна быть такой:

$B=\begin{pmatrix} 4&6 &5 \\ 1 &3 &2 \\ 3 &3 &3\\ \end{pmatrix}$

[arseniiv]

Ну теперь-то вы должны видеть требуемые преобразования воочию. Одно из них, например, состоит в прибавлении одной из строк к другой.

-- Пт июл 21, 2017 00:45:49 --

PWT в сообщении #1234977 писал(а):

А можно ли сделать так?

Пусть $O_1=O_2=E$, тогда получаем $AO_3=B$, значить $A=BO_3^{-1}$, тогда $O_3^{-1}=B^{-1}A$, а значит $O_3=(B^{-1}A)^{-1}$.

Верно ли это?

Сделать-то можно, но $O_3$ не обязательно будет матрицей элементарного преобразования.

[PWT]

arseniiv в сообщении #1234988 писал(а):

Ну теперь-то вы должны видеть требуемые преобразования воочию. Одно из них, например, состоит в прибавлении одной из строк к другой из строк.

Это я понимаю, спасибо! Но как подобрать матрицу под элементарное преобразование?

[arseniiv]

Не надо её подбирать, это должно быть в учебнике. Если там нет, то вот как они выводятся: пусть матрицу $A$ преобразовали элементарным преобразованием в $A'$. Тогда попробуйте решить два уравнения: $A' = XA$, $A' = AX$. Одно из них должна иметь решение $X$, которое и будет соответствующей матрицей (и умножать на неё, чтобы провести нужное преобразование, нужно с правильной стороны).

[lel0lel]

Можно думать о матрицах $O_1, O_3$, как о приводящих матрицу $A$ к диагональному виду. Тогда $O_2$ определяется. Ой, это не тот случай, виноват.

Тогда так: $O_2O_1AO_3=S_b\widetilde{B}S_b^{-1}$, где $\widetilde B$ диагональная. Имеем $S_b^{-1}O_2O_1AO_3S_b=\widetilde{B}$, считаем $S_a^{-1}=O_1$ и $S_a=O_3S_b$. Это позволит найти $O_1,O_3$. Остается $S_b^{-1}O_2\widetilde{A}=\widetilde{B}$.

[svv]

Может быть, в данном случае имеет смысл выписать матрицы, исходя из того, что сами преобразования, приводящие $A$ к $B$, довольно очевидны?

-- Чт июл 20, 2017 23:30:50 --

PWT в сообщении #1234952 писал(а):

Опять это, видимо должно соответствовать домножению на некоторую матрицу. Но вот какую?

В теории этого не было?

[PWT]

Может и было, но я уже не помню. Было бы неплохо, если бы показали -- где можно почитать. Это из варианта вступительного в магистратуру... Спасибо!

$$A=\begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 & 9\\ \end{pmatrix}\;\;\;\;$$

$$A'=\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 1&2 &3 \\ 7 &8 & 9\\ \end{pmatrix} $$

Вот пытаюсь найти матрицу $X$, такую, что $AX=A'$ или матрицу $Y$, такую что $YA=A'$, но пока что самому не догадаться, вижу вариант только через обратную матрицу (но у нас ее нет). Еще вижу вариант просто все 9 элементов неизвестной матрицы обозначить буквами, перемножить матрицы и решить систему уравнений. Только вот как узнать -- с какой стороны домножать -- слева или справа? И единственный ли это способ в данной ситуации?

[arseniiv]

Ну, с перестановкой есть подсказка. Попробуйте переставить строки в матрице-столбце, а не в такой большой (перестановка столбцов аналогично — в матрице-строке).

[svv]

(Оффтоп)

Или в единичной матрице. Тогда сам результат и будет преобразующей матрицей.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Да, это куда нагляднее, а я проглядел.

[PWT]

Спасибо, действительно, понял. Понял и след. шаг.

$$\begin{pmatrix} 0&1 &0 \\ 1 &0 &0 \\ 0 &0 & 1\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 & 9\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 1&2 &3 \\ 7 &8 & 9\\ \end{pmatrix} $$

Теперь задача, например, сделать $A'\to A''$, где $A''=\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 1&2 &3 \\ 3 &3 &3\\ \end{pmatrix}$

$$\begin{pmatrix} 1&0 & 0 \\ 0 &1&0 \\ -1 &0 & 1\\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 1&2 &3 \\ 7 &8 & 9\\ \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} 4 &5 &6 \\ 1&2 &3 \\ 3 &3 & 3\\ \end{pmatrix} $$

-- 21.07.2017, 00:28 --

С последним шагом тоже разобрался. Но это был прямо подбор какой-то. А как это делается по-хорошему?