Лемма о неединственности решения системы Лежандра

[jdkflbvbh]

Введение.
Метод наименьших квадратов - это один из стандартных методов статистики. Принцип оптимизации суммы квадратов расстояний точек от искомой прямой был впервые предложен Лежандром (1806) для случая аппроксимации результатов измерений линейной функцией с определённым наклоном(угловым коэффициентом) и определённой аддитивной постоянной. Наилучшие значения указанных двух параметров должны выбираться так, чтобы первые частные производные суммы квадратов отклонений ординат по каждому параметру в отдельности (соответственно - угловой коэффициент $m$ и аддитивная постоянная $c$) равнялись нулю (система Лежандра) /1/pp.46,47 /1/. Справедливость Леммы при $m$, отличным от нуля, следует из существования второго решения системы Лежандра: $mm_:=-1$.

Предварительное обсуждение исходной постановки задачи.
Методологически обычно принято использовать наиболее простой (в данном случае - линейный) вариант: расстояния точек от искомой прямой исчисляются как отклонения ординат. В результате получается линейная неоднородная система двух уравнений (система Лежандра), имеющая стандартное решение ( наилучшая прямая отдельного опыта). При попытке рассмотрения серии однотипных опытов приходится принимать некоторые допущения, в частности - гипотезу статистических весов. В итоге получают (взвешенную) наилучшую прямую линейной системы и называют её истинной.
Такая постановка задачи является формальной и не учитывает очевидный факт: имеется потенциальная оптимизация расстояний точек от искомой прямой, когда расстояния исчисляются по нормалям каждой точки к искомой прямой (фактор $1+k^2$), где $k$ -обозначение нового углового коэффициента нормализованной системы Лежандра. Соответственно $b$ -обозначение новой аддитивной постоянной. Учитывая данный фактор при дифференцировании сумм Лежандра, для определения аддитивной постоянной $b$ можно получить квадратное уравнение , коэффициенты которого -действительные числа. Значения углового коэффициента $k$ можно определить через $b$, используя неподвижную центральную точку системы (центр тяжести).

Теорема об истинной прямой серии однотипных опытов /1/Приложение 5, pp.228-234.:
коэффициенты (угловой коэффициент $k$ и аддитивная постоянная $b$) истинной прямой удовлетворяют нормализованной системе Лежандра, где в качестве отклонений берутся нормали на искомую прямую, а центральная точка - неподвижна. Общее число точек увеличивается в N раз, где N - число однотипных опытов.



Вопрос к обсуждению.
Можно-ли аналитическим путём вывести следствие: указанные коэффициенты $k$, $b$ нормализованной системы Лежандра по абсолютной величине достигают минимума на найденной истинной прямой ?

Цитированная литература:

1. Дж.Сквайрс Практическая физика, перевод с английского под редакцией Е.М.Лейкина М. МИР, 1971г. 246 стр, илл.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют формулировка вопроса, предлагаемого к обсуждению.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.