Решить большую систему уравнений

[Rusit8800]

Проверьте пожалуйста, правильность и, главное, обоснованность решения, с чем у меня постоянно проблемы.
Задача:
Решить систему в положительных числах.

$$\[\left\{ \begin{gathered} {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4 \hfill \\ {x_2} + \frac{1}{{{x_3}}} = 1 \hfill \\ {x_3} + \frac{1}{{{x_4}}} = 4 \hfill \\ \ldots \hfill \\ {x_{99}} + \frac{1}{{{x_{100}}}} = 4 \hfill \\ {x_{100}} + \frac{1}{{{x_1}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Решение:
Заметим, что при $\[{x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = 2\]$, $\[{x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = \frac{1}{2}\]$ система выполняется, до чего можно догадаться, решив такую же, но более простую систему уравнений:

$$\[\left\{ \begin{gathered} {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4 \hfill \\ {x_2} + \frac{1}{{{x_1}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Оценим снизу левые части уравнений системы. Поскольку числа положительны, то можно использовать неравенство Коши для двух переменных:

$$\[\begin{gathered} 4 \geqslant \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \hfill \\ \frac{1}{4} \geqslant \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} \hfill \\ 4 \geqslant \frac{{{x_3}}}{{{x_4}}} \hfill \\ \ldots \hfill \\ 4 \geqslant \frac{{{x_{99}}}}{{{x_{100}}}} \hfill \\ \frac{1}{4} \geqslant \frac{{{x_{100}}}}{{{x_1}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

При $\[{x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = 2\]$, $\[{x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = \frac{1}{2}\]$ неравенство становится равенством. Докажем, что ни одно из данных неравенств не может быть строгим.
Действительно, пусть среди данных неравенств есть строгие. Поскольку левые и правые части положительны, то перемножим их, так как среди неравенств есть строгие, то при перемножении получится строгое неравенство:

$$\[\underbrace {\left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right)}_{50} > \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} \cdot \frac{{{x_3}}}{{{x_4}}} \cdot \ldots \cdot \frac{{{x_{99}}}}{{{x_{100}}}} \cdot \frac{{{x_{100}}}}{{{x_1}}}\]$$

откуда следует, что $1>1$. Противоречие.

[lel0lel]

Нужно использовать симметрию данной системы. Без этого могут снять баллы.

[Rusit8800]

Разве здесь

$$\[\underbrace {\left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right) \cdot \left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right) \ldots \left( {4 \cdot \frac{1}{4}} \right)}_{50} > \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \cdot \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} \cdot \frac{{{x_3}}}{{{x_4}}} \cdot \ldots \cdot \frac{{{x_{99}}}}{{{x_{100}}}} \cdot \frac{{{x_{100}}}}{{{x_1}}}\]$$

это не использовано?
Все сокращается.

[Xaositect]

Rusit8800 в сообщении #1231341 писал(а):

При $\[{x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = 2\]$, $\[{x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = \frac{1}{2}\]$ неравенство становится равенством

Вы доказали, что строгое неравенство невозможно, и привели пример, когда выполняется равенство. Но вы не доказали, что этот пример единственный.

[lel0lel]

Используется, конечно, но написать о симметрии этой системы стоило в самом начале. А так: ваше решение верное и доказательство тоже. Может несколько слов об единственности еще сказать нужно, хотя из доказательства, что неравенство Коши на решениях есть строгое равенство и уравнений системы это сразу следует. Если бы проверял я, то поставил вам полный балл.

[Rusit8800]

Xaositect в сообщении #1231359 писал(а):

Вы доказали, что строгое неравенство невозможно, и привели пример, когда выполняется равенство. Но вы не доказали, что этот пример единственный.

Я привел пример, а затем сделал оценку ВСЕХ возможных решений(то есть если решение есть, то оно обязательно входит в оценку). В эту оценку,естественно, входил и этот пример. А потом я доказал, что в этой оценке все значения $x_i$, кроме приведенного примера не могут являться решением системы. И так как все возможные решения "исчерпаны", то решением является только этот пример, оставшийся.

-- 03.07.2017, 23:02 --

lel0lel в сообщении #1231362 писал(а):

Используется, конечно, но написать о симметрии этой системы стоило в самом начале.

А если бы я не написал, то мне могли бы снизить?

-- 03.07.2017, 23:03 --

lel0lel в сообщении #1231362 писал(а):

Может несколько слов об единственности еще сказать нужно

Видимо да, так как Xaositect меня не понял.

[Someone]

Тем не менее, второе решение видно невооружённым глазом.

[Rusit8800]

Someone в сообщении #1231373 писал(а):

Тем не менее, второе решение видно невооружённым глазом.

Не может быть, в ответах только $\[{x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = 2\]$, $\[{x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = \frac{1}{2}\]$

[Someone]

Да, это мне померещилось. Прошу прощения.

[grizzly]

Rusit8800 в сообщении #1231368 писал(а):

А потом я доказал, что в этой оценке все значения $x_i$, кроме приведенного примера не могут являться решением системы.

Нет, Вы этого не доказали. И даже не пытались (например, не сформулировали). Плохо, что Вы этого не понимаете.

Я поясню, в чём Ваш прокол на примере. Забудем про первоначальную систему и рассмотрим Ваше "доказательство единственности" начиная с этого момента (только я в своём примере поменяю цифры):

$$\[\begin{gathered} 1 \geqslant \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \hfill \\ 1 \geqslant \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} \hfill \\ \ldots \hfill \\1 \geqslant \frac{{{x_{100}}}}{{{x_1}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

Теперь я скажу подобно Вам: (а) все неравенства выполнены, когда все переменные равны 1; (б) ни одно из неравенств не может быть строгим, поскольку тогда, перемножив, получим противоречие $1>1$. Ну и что? Ведь здесь нет единственности.

Постарайтесь понять свою ошибку (ведь Вы пришли сюда именно за этим). Хотя эта ошибка не совсем простая для понимания. Другая ошибка намного хуже: Вы провели недостаточный анализ задачи (забыли рассмотреть в ходе решения вопрос единственности) и не соглашаетесь с этим.

(Ещё хотел бы заметить, что в задаче существенно чётное количество уравнений в системе. При нечётном всё совсем не так. Может, тоже стоило упомянуть об этом в решении. Но это не настолько критично.)

[ewert]

Надо просто (после того, как решение угадано) сделать замену $x_1=2y_1$, $x_2=\frac{y_2}2$, $x_3=2y_3$, $x_4=\frac{y_4}2$ и т.д. Для игреков получится аналогичная система, но с двойками в правых частях. Остаётся только эти уравнения сложить: $\sum\limits_{k=1}^n\left(y_k+\frac1{y_k}\right)=2n$, и общеизвестно, что $y+\frac1y>2$ при $y\neq1$.

[Rusit8800]

grizzly в сообщении #1231384 писал(а):

Ну и что? Ведь здесь нет единственности.

Ну, зато мы знаем, что отношение $\[\frac{{{x_i}}}{{{x_{i + 1}}}}\]$ меньше $1$.

-- 04.07.2017, 08:39 --

Видимо ошибка в том, что показать это
$\[\frac{{{x_i}}}{{{x_{i + 1}}}}\]$ меньше $1$
необходимо, но не достаточно, чтобы показать, что система имеет единственное решение. В задаче мне с этим "повезло", а на вашем примере - нет.

-- 04.07.2017, 08:41 --

grizzly в сообщении #1231384 писал(а):

Вы провели недостаточный анализ задачи (забыли рассмотреть в ходе решения вопрос единственности) и не соглашаетесь с этим.

Да я вроде, делая оценку, намекал на это. Получается, намеков не достаточно?

-- 04.07.2017, 08:49 --

Rusit8800 в сообщении #1231395 писал(а):

необходимо, но не достаточно

А может и вообще ни необходимо, ни достаточно, ведь я, с помощью неравенства Коши только увеличил "радиус поиска" корней. Это неравенство здесь бесполезно.

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1231395 писал(а):

Получается, намеков не достаточно?

Намёков действительно недостаточно. Тем более что их и не было. Вы интуитивно опирались на тот факт, что неравенства Коши превращаются в равенства только в одном случае. Но не указали, в каком.

[TOTAL]

Можно без Коши.

$$x_1+\frac{1}{x_2}=x_3+\frac{1}{x_4}, \,\, x_2+\frac{1}{x_3}=x_4+\frac{1}{x_5} $$

Если $x_3 > x_1$, то $x_4 > x_2$, то $x_5 > x_3$ и т.д.
Поэтому ${x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = a$, ${x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = b$

[ewert]

TOTAL в сообщении #1231403 писал(а):

Поэтому ${x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = a$, ${x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = b$

Ну тогда придётся систему решать. Проще перейти к игрекам.