Решить большую систему уравнений

[Rusit8800]

А случайно система

$$\[\left\{ \begin{gathered} 4 = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \hfill \\ \frac{1}{4} = \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} \hfill \\ 4 = \frac{{{x_3}}}{{{x_4}}} \hfill \\ \ldots \hfill \\ 4 = \frac{{{x_{99}}}}{{{x_{100}}}} \hfill \\ \frac{1}{4} = \frac{{{x_{100}}}}{{{x_1}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

не равносильна

$$\[\left\{ \begin{gathered} {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4 \hfill \\ {x_2} + \frac{1}{{{x_3}}} = 1 \hfill \\ {x_3} + \frac{1}{{{x_4}}} = 4 \hfill \\ \ldots \hfill \\ {x_{99}} + \frac{1}{{{x_{100}}}} = 4 \hfill \\ {x_{100}} + \frac{1}{{{x_1}}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

Ведь

$$\[\begin{gathered} {x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \hfill \\ {x_2} + \frac{1}{{{x_3}}} = \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} \hfill \\ {x_3} + \frac{1}{{{x_4}}} = \frac{{{x_3}}}{{{x_4}}} \hfill \\ \ldots \hfill \\ {x_{99}} + \frac{1}{{{x_{100}}}} = \frac{{{x_{99}}}}{{{x_{100}}}} \hfill \\ {x_{100}} + \frac{1}{{{x_1}}} = \frac{{{x_{100}}}}{{{x_1}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$$

так как неравенство Коши обращается в равенство.

-- 04.07.2017, 10:11 --

Первую систему будет решить легче.

[ewert]

Rusit8800, если уж хочется Коши, подумайте лучше в другую сторону Ведь пробел-то у Вас в чём?

Rusit8800 в сообщении #1231341 писал(а):

При $\[{x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = 2\]$, $\[{x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = \frac{1}{2}\]$ неравенство становится равенством. Докажем, что ни одно из данных неравенств не может быть строгим.

Здесь подразумевается, что при любых других иксах какие-то неравенства окажутся строгими (если так, то дальше всё верно). Но ведь этот факт надо обосновывать, а Вы этого не сделали и даже не зафиксировали. Между тем это легко.

Вот, скажем, Вы говорите, что из $x_1+\frac1{x_2}=4$ по неравенству Коши следует $\frac{x_1}{x_2}\leqslant4$ (что, кстати, в полноценной записи решения тоже следовало бы развернуть; но это непринципиально, т.к. утверждение в конце концов всё-таки верно). Однако фактически из уравнения следует строгое неравенство, кроме одного случая. Какого?...

[TOTAL]

ewert в сообщении #1231406 писал(а):

TOTAL в сообщении #1231403 писал(а):

Поэтому ${x_1} = {x_3} = \ldots = {x_{99}} = a$, ${x_2} = {x_4} = \ldots = {x_{100}} = b$

Ну тогда придётся систему решать. Проще перейти к игрекам.

За умение решить систему

$$a+\frac{1}{b}=4, \,\, b+\frac{1}{a}=1 \;\; \Longleftrightarrow \;\; ab+1=4b, \,\, ab+1=a$$

можно получить десять дополнительных баллов

[ewert]

TOTAL в сообщении #1231412 писал(а):

$$a+\frac{1}{b}=4, \,\, b+\frac{1}{a}=1 \;\; \Longleftrightarrow \;\; ab+1=4b, \,\, ab+1=a$$

Это лишь где-то треть от полной записи решения системы. Уныло. "Зачем Дося?"

[Rusit8800]

ewert в сообщении #1231411 писал(а):

Ведь пробел-то у Вас в чём?

В том, что условие не обращения неравенств в строгие неравенства не является достаточным условием для того, чтобы решение было единственным.

ewert в сообщении #1231411 писал(а):

Вот, скажем, Вы говорите, что из $x_1+\frac1{x_2}=4$ по неравенству Коши следует $\frac{x_1}{x_2}\leqslant4$ (что, кстати, в полноценной записи решения тоже следовало бы развернуть; но это непринципиально, т.к. утверждение в конце концов всё-таки верно). Однако фактически из уравнения следует строгое неравенство, кроме одного случая. Какого?...

Ничего не понимаю. Я показал, что, например, случай
$\frac{x_1}{x_2}< 4$
невозможен. Остался случай
$\frac{x_1}{x_2}=4$
Но это тот самый случай, когда неравенство Коши становится равенством, значит вместо того, чтобы рассматривать уравнение $\[{x_1} + \frac{1}{{{x_2}}} = 4{\text{ }}\]$ можно рассматривать $\frac{x_1}{x_2}=4$. Аналогично с остальными уравнениями системы. Значит вместо исходной системы можно решить систему

$$\[\left\{ \begin{gathered} 4 = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \hfill \\ \frac{1}{4} = \frac{{{x_2}}}{{{x_3}}} \hfill \\ 4 = \frac{{{x_3}}}{{{x_4}}} \hfill \\ \ldots \hfill \\ 4 = \frac{{{x_{99}}}}{{{x_{100}}}} \hfill \\ \frac{1}{4} = \frac{{{x_{100}}}}{{{x_1}}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]$$

и все ее решения совпадут со всеми решениями исходной системы.
Где я не прав?

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1231416 писал(а):

Где я не прав?

Главное -- там, в стартовом посте. В том, что ничего на этот счёт не было сказано.

На данный момент -- в том, что решения последней системы пока нет. И никогда не будет, если рассматривать только эту систему саму по себе.

И ещё в том, что эта система и вовсе не нужна. Поскольку известно, что неравенство $xy\leqslant\frac{(x+y)^2}4$ превращается в равенство -- лишь в каком случае?...

[Rusit8800]

ewert в сообщении #1231419 писал(а):

И никогда не будет, если рассматривать только эту систему саму по себе.

Почему нет. Она же равносильна первоначальной. Значит должны.

ewert в сообщении #1231419 писал(а):

Поскольку известно, что неравенство $xy\leqslant\frac{(x+y)^2}4$ превращается в равенство -- лишь в каком случае?

Если эти числа равны. Предлагаете вместо их подставить какое нибудь число? В какую систему? Может во вторую, она проще?

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1231424 писал(а):

Она же равносильна первоначальной.

Не равносильна очевидным образом. Хотя бы потому, что эта система (в отличие от исходной) -- линейная однородная.

Rusit8800 в сообщении #1231424 писал(а):

Если эти числа равны. Предлагаете вместо их подставить какое нибудь число? В какую систему?

Не в систему, а в утверждение: $x_1+\frac1{x_2}=4$ следует $\frac{x_1}{x_2}\leqslant4$.

[Rusit8800]

ewert в сообщении #1231425 писал(а):

Хотя бы потому, что эта система (в отличие от исходной) -- линейная однородная.

Ну и что, например $\[{(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0\]$

-- 04.07.2017, 12:25 --

Главное, чтобы решения совпадали.

[ewert]

Rusit8800 в сообщении #1231426 писал(а):

Главное, чтобы решения совпадали.

У второй системы (той, что с дробями) решений бесконечно много.

[Rusit8800]

ewert в сообщении #1231427 писал(а):

У второй системы (той, что с дробями) решений бесконечно много.

Печаль.

-- 04.07.2017, 12:30 --

Однако, если вместо четных аргументов и нечетных поставить числа $a$ и $b$ соответственно, то получиться этот ответ $a=1/2$, $b=2$.

-- 04.07.2017, 12:30 --

Не понимаю, при чем здесь это(и что значит):

Цитата:

Не в систему, а в утверждение: $x_1+\frac1{x_2}=4$ следует $\frac{x_1}{x_2}\leqslant4$.