Двусторонняя неориентируемая поверхность.

[Tigran K. Kalaidjian]

Возможна ли односторонняя ориентируемая поверхность?
А двусторонняя неориентируемая поверхность?
Заранее спасибо.

[Capella]

Вот вопрос, который достоин обсуждения! Несколько недель назад два участника форума обсуждали такой-же по личке. Проблема в том, что неориентированных поверхностей очень мало в природе. Лента Мёбиуса одностороняя (её можно обойти всю не покидая поверхности), тоже самое бутылка Клейна... Проекционная плоскость вроде двухсторонняя....
На первую часть я не могу дать ответа, подозреваю, что нет, не возможно, хотя с удовольствием готова увидеть контрпример

[Someone]

Capella писал(а):

Вот вопрос, который достоин обсуждения! Несколько недель назад два участника форума обсуждали такой-же по личке. Проблема в том, что неориентированных поверхностей очень мало в природе. Лента Мёбиуса одностороняя (её можно обойти всю не покидая поверхности), тоже самое бутылка Клейна... Проекционная плоскость вроде двухсторонняя....
На первую часть я не могу дать ответа, подозреваю, что нет, не возможно, хотя с удовольствием готова увидеть контрпример :)

Термины "двусторонняя поверхность" и "ориентируемая поверхность" означают одно и то же. То же самое - для терминов "односторонняя поверхность" и "неориентируемая поверхность".

Проективная плоскость - неориентируемая (односторонняя). Она получается (в топологическом смысле), если взять лист Мёбиуса и круг и склеить их по краям (и у того, и у другого край является окружностью - опять же, в топологическом смысле).

Попарно различных в топологическом смысле (то есть, попарно негомеоморфных) ориентируемых и неориентируемых поверхностей одинаковое "количество" - бесконечное множество.

[Capella]

Someone писал(а):

Проективная плоскость - неориентируемая (односторонняя). Она получается (в топологическом смысле), если взять лист Мёбиуса и круг и склеить их по краям (и у того, и у другого край является окружностью - опять же, в топологическом смысле).

Ага, я под проективной плоскостью подразумевала следующее. Берётся сфера и каждая её точка, кроме полюса, проецируется на плоскость следующим образом - берётся прямая исходящая из противоположеного плоскости полюса и строиться так, что проходит через какую-либо точку сферы, далее точка пересечение прямой и проекционной плоскости есть отображение точки сферы на плоскость (по моему есть аналогичное построение в комплексных числах). Полюс не может проецироваться из-за того. что проекция уходит в бесконечность. Для полной параметризации сферы берётся вторая плоскость на другом полюсе (например сфера соприкасается с обеими плоскостями в южном и северном полюсах).
Да, собственно под самой плоскостью, я подразумеваю касательную плоскость к одному из полюсов.

[Someone]

Capella писал(а):

Ага, я под проективной плоскостью подразумевала следующее. Берётся сфера и каждая её точка, кроме полюса, проецируется на плоскость следующим образом - берётся прямая исходящая из противоположеного плоскости полюса и строиться так, что проходит через какую-либо точку сферы, далее точка пересечение прямой и проекционной плоскости есть отображение точки сферы на плоскость (по моему есть аналогичное построение в комплексных числах). Полюс не может проецироваться из-за того. что проекция уходит в бесконечность. Для полной параметризации сферы берётся вторая плоскость на другом полюсе (например сфера соприкасается с обеими плоскостями в южном и северном полюсах)

Это стереографическая проекция сферы на плоскость (обычно берут плоскость, касающуюся сферы в точке, противоположной полюсу, или параллельную ей плоскость, проходящую через центр сферы). Но к проективной плоскости это отошения не имеет. Добавление к плоскости "бесконечно удалённого элемента", соответствующего полюсу, превращает плоскость в сферу.

К проективной плоскости имеет отношение другая проекция - не из точки на сфере, а из её центра. При этом диаметрально противоположные точки сферы проектируются в одну и ту же точку плоскости. А если проектирующая прямая параллельна плоскости, то она даёт "бесконечно удалённую" точку проективной плоскости. Все "бесконечно удалённые" точки образуют "бесконечно удалённую" прямую. Добавление этой "бесконечно удалённой" прямой превращает плоскость в проективную плоскость.
Здесь есть только одна тонкость: "прямые" на проективной плоскости - это не евклидовы прямые, а проективные прямые. Их "концы" как бы соединяются в "бесконечно удалённой" точке, и "прямая" замыкается в окружность (в топологическом смысле).

[Capella]

Такого определения я ещё не проходила (про проекцию из центра)... Про стереографическая проекция, но плоскость я называла проекционной (до сих пор никто не правил). Теперь буду различать.

[Someone]

Capella писал(а):

Такого определения я ещё не проходила (про проекцию из центра)... :cry: Про стереографическая проекция, но плоскость я называла проекционной (до сих пор никто не правил). Теперь буду различать.

О, а я эту "проекционную плоскость" принял за опечатку! Проекционная плоскость - это действительно обычная (двусторонняя) плоскость. А односторонней является именно проективная плоскость.

[Genrih]

Someone писал(а):

Все "бесконечно удалённые" точки образуют "бесконечно удалённую" прямую. Добавление этой "бесконечно удалённой" прямой превращает плоскость в проективную плоскость.
Здесь есть только одна тонкость: "прямые" на проективной плоскости - это не евклидовы прямые, а проективные прямые. Их "концы" как бы соединяются в "бесконечно удалённой" точке, и "прямая" замыкается в окружность (в топологическом смысле).

Someone, "все" ето значит, что для каждой плоскости строим проекцию из сферы и собираем все бесконечные точки в одну бесконечную прямую? Ведь каждая бесконечная точка имеет свой "носитель" (как характеристика).
Просто хочу найти аналогию с определением, как оно дается с точки зрения проективных пространств(бесконечная точка как множество $ \{ x \in E^3 : x || a, a \in E^3 \} $, "a" и будет "носителем" )

[Tigran K. Kalaidjian]

Someone писал(а):

Термины "двусторонняя поверхность" и "ориентируемая поверхность" означают одно и то же. То же самое - для терминов "односторонняя поверхность" и "неориентируемая поверхность".

Спасибо за ответ! Я наткнулся в БСЭ на фразу : "класс односторонних поверхностей в трёхмерном пространстве совпадает с классом неориентируемых поверхностей", откуда и возник мой вопрос. Интересно, для чего там оговорка "в трёхмерном пространстве".

[Capella]

Potomu chto oni tol'ko v 3D sushestvujut: Möbius, Klein-flasche (fläche) i t.d.

[Someone]

Tigran K. Kalaidjian писал(а):

Я наткнулся в БСЭ на фразу : "класс односторонних поверхностей в трёхмерном пространстве совпадает с классом неориентируемых поверхностей", откуда и возник мой вопрос. Интересно, для чего там оговорка "в трёхмерном пространстве".

Видите ли, об ориентируемости поверхности (двумерного многообразия) мы можем говорить, рассматривая эту поверхность саму по себе, так сказать, "изнутри", вовсе не предполагая, что она куда-то вложена или погружена.

Что касается "стороны поверхности", то это трёхмерный феномен (молча предполагаем, что наши поверхности двумерные). Если наша поверхность является границей некоторой области в трёхмерном пространстве, то у нас есть "внутренняя сторона" и "внешняя сторона". Но та же самая поверхность, вложенная в четырёхмерное пространство, не разбивает его на две области (даже локально). Поэтому мы можем ходить "вокруг" нашей поверхности (как в трёхмерном пространстве вокруг линии) и не можем определить сторону поверхности. Кстати, линия на плоскости тоже имеет две стороны.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

К проективной плоскости имеет отношение другая проекция - не из точки на сфере, а из её центра. При этом диаметрально противоположные точки сферы проектируются в одну и ту же точку плоскости. А если проектирующая прямая параллельна плоскости, то она даёт "бесконечно удалённую" точку проективной плоскости. Все "бесконечно удалённые" точки образуют "бесконечно удалённую" прямую. Добавление этой "бесконечно удалённой" прямой превращает плоскость в проективную плоскость.
Здесь есть только одна тонкость: "прямые" на проективной плоскости - это не евклидовы прямые, а проективные прямые. Их "концы" как бы соединяются в "бесконечно удалённой" точке, и "прямая" замыкается в окружность (в топологическом смысле).

Гм. То что Вы говорите напоминает мне одну штуку из теории групп. У группы $\hbox{SO}(3)=\{ g_{\bf n}(\alpha)\}$ есть такая параметризация: два угла определяют направление единичного вектора ${\bf n} \in S^2$, а третий угол $\alpha$ задает поворот вокруг ${\bf n}$. Поскольку вектор ${\bf n}$ пробегает $S^2$, то $\alpha$ нужно ограничить областью $\alpha \in [0,\pi]$. Поэтому $\hbox{SO}(3)$ - многообразие - шар радиуса $\pi$. Кроме этого, поскольку $g_{\bf n}(\pi)=g_{-\bf n}(\pi)\in \hbox{SO}(3)$, то мы должны отождествить диаметрально противоположные точки поверхности этого шара (сферы). Интересно, связано ли это как-нибудь с "проективной плоскостью"? Это многообразие, насколько я себе представляю, относится к неориентируемым в силу того, что оно двусвязано. И как по Вашему понятие связанности (линейной) соотносится с ориентируемостью?

[Someone]

Genrih писал(а):

Someone, "все" ето значит, что для каждой плоскости строим проекцию из сферы и собираем все бесконечные точки в одну бесконечную прямую? Ведь каждая бесконечная точка имеет свой "носитель" (как характеристика).
Просто хочу найти аналогию с определением, как оно дается с точки зрения проективных пространств(бесконечная точка как множество $ \{ x \in E^3 : x || a, a \in E^3 \} $, "a" и будет "носителем" )

Я немного не понял Ваших обозначений.

Стандартная модель проективной плоскости - это пучок прямых в трёхмерном (евклидовом) пространстве, то есть, множество всех прямых, проходящих через заданную точку $O$. "Точками" проективной плоскости являются прямые этого пучка, "прямыми" проективной плоскости - множества прямых пучка, лежащих в одной плоскости.

Происходит эта модель (да и сама проективная плоскость) из идеи центральной проекции одной плоскости (обозначим её $\alpha$) в трёхмерном пространстве на другую (обозначим её $\beta$): выбирается центр проекции $O$, не лежащий ни в одной из этих плоскостей; проводя прямую через центр проекции и через точку на плоскости $\alpha$, получаем (а иногда не получаем) соответствующую точку на плоскости $\beta$. Если проведём такие прямые через все точки прямой $l$, лежащей на на плоскости $\alpha$, то они заполнят некоторую плоскость, за исключением одной прямой, параллельной плоскости $\alpha$, которая соответствует "бесконечно удалённой" точке прямой $l$ (ясно, что параллельные прямые плоскости $\alpha$ имеют одну и ту же "бесконечно удалённую" точку). Все прямые, проходящие через центр проекции и параллельные плоскости $\alpha$, заполняют плоскость. Естественно считать, что эта плоскость определяет "бесконечно удалённую" прямую плоскости $\alpha$. Если плоскость $\beta$ не параллельна плоскости $\alpha$, то эта "бесконечно удалённая" прямая спроектируется в настоящую прямую плоскости $\beta$.

Теперь возьмём сферу $S^2$ с центром в центре проекции (любого радиуса). Каждая прямая пучка (напомню, что все прямые пучка проходят через центр проекции $O$) пересекает $S^2$ в двух диаметрально противоположных точках. Поэтому можно считать, что проективная плоскость получается склеиванием диаметрально противоположных точек сферы. Это трудно себе представить, но можно поступить так. Отрежем верхнюю половину сферы. Останется нижняя полусфера, у которой нужно склеить диаметрально противоположные точки края, имеющего форму окружности.
Возьмём два взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. Сожмём эту окружность так, чтобы склеились два конца одного диаметра в точке пересечения диаметров. Край примет форму восьмёрки. Будем эту восьмёрку сжимать к другому диаметру, чтобы она становилась более узкой, и одновременно этот диаметр "переломим" посередине, поднимая его концы вверх и сближая их. Согласуем две этих деформации так, чтобы в тот момент, когда обе половинки диаметра сложатся в один отрезок, восьмёрка тоже сплющилась в отрезок. В итоге к этому отрезку будут примыкать 4 куска нашей поверхности. Их надо склеить крест-накрест. В результате поверхность будет иметь линию самопересечения, которую надо считать фиктивной: на проективной плоскости эта линия самопересечения устроена как окружность, но из-за неудачного способа погружения в трёхмерное пространство эта "окружность" сплющилась в отрезок. Полученную фигуру иногда называют "скрещённым колпаком".
На самом деле проективную плоскость нельзя вложить в $E^3$ без самопересечений.

Другой способ погружения проективной плоскости $RP^2$ можно посмотреть в книге [1], стр. 17, рис. 3, а скрещённый колпак изображён на стр. 18, рис. 5. Очень интересно также полистать книжку [2].

[1] А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукс. Курс гомотопической топологии. Москва, "Наука", 1989.
[2] Дж.Франсис. Книжка с картинками по топологии. Москва, "Мир", 1991.

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

...

Я всю цитату пропустил.

Да, Вы правы, группа $SO(3)$ действительно гомеоморфна трёхмерному проективному пространству $RP^3$, группа $SO(2)$ - окружности $S^1$, а группа $SU(2)$ - трёхмерной сфере $S^3$. Об этом можно прочесть в упомянутой уже книжке А.Т.Фоменко и Д.Б.Фукса на стр. 16.
Там же (гл. 2, § 17, стр. 142) сказано, что $n$-мерное проективное пространство $RP^n$ ориентируемо при нечётном $n$ и неориентируемо при чётном $n$, так что $RP^3$ ориентируемо.

Неориентируемость и неодносвязность никак, на мой взгляд, не связаны. Односвязные двумерные поверхности - это только сфера и плоскость, которую можно считать частью сферы; они ориентируемы. Что касается неодносвязных поверхностей, то среди них есть как ориентируемые, так и неориентируемые.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone писал(а):

Неориентируемость и неодносвязность никак, на мой взгляд, не связаны. Односвязные двумерные поверхности - это только сфера и плоскость, которую можно считать частью сферы; они ориентируемы. Что касается неодносвязных поверхностей, то среди них есть как ориентируемые, так и неориентируемые.

Понятно. Спасибо. Это я спросил не подумав =)