Комплексные числа

[hermonel1]

Помогите пожалуйста разобраться
Условие:

1. Z x Z(12 + 4i) x Z + 77 +52i = 0
2. (1 + i)Z x Z + (19 + 3i)Z + 54 - 28i =0

Z = ( X + Yi) - общая формула, но после подстановки получается то, на что меня явно не хватает.
Спасибо

[AD]

Бррр. Давайте лучше писать в $\TeX$е, как все. А то не понятно ниччего.

Первое - это у вас что-ли требуется извлечь $\sqrt[3]{-\frac{77+52i}{12+4i}}$? А второе - квадратное уравнение?
Или это система из двух уравнений у вас, или они по-отдельности?

Квадратные уравнения решаются по обыкновенной формуле для корней квадратного уравнения, еще до подстановки Z=X+iY. Это потому, что для её вывода используются только свойства сложения и умножения, которые у комплексных чисел такие же, как и у действительных. Кубические корни лучше извлекать по формуле Муавра, предварительно приведя число к тригонометрической форме $z=|z|(\cos(\arg z)+i\sin(\arg z))$

[hermonel1]

Простите за дремучесть. Я только учусь быть умной
Путь решения, который от нас требуют

Z^2(12 + 4i) Z + 77 +52i = 0
X^2 - 2XiY - Y^2 - 12X -12iY - 4Xi + 4Y + 77+ 52i = 0

От сюда истема уравнений
X^2 -Y^2 - 12X - 4Y+ 77 =0
- 2XY - 12Y - 4X + 52 = 0

Тут моя проблема. Нужно найти корни и прийти к ответу
8 - 5i , 4+9i

[PAV]

hermonel1, правила форума требуют набора формул в формате TeX. В Вашем случае это совсем просто: отредактируете свое сообщение, поставив до и после каждой формулы знак доллара. И посмотрите на результат. Дальнейшие сведения почерпнете здесь.

[AD]

Еще раз уточняю про первое уравнение. Из обоих ваших записей

hermonel1 писал(а):

Z x Z(12 + 4i) x Z + 77 +52i = 0

hermonel1 писал(а):

Z^2(12 + 4i) Z + 77 +52i = 0

видно, что Z входит в уравнение в третьей степени. Поэтому не понятно, как вы перешли к системе, в которой всё во второй степени. И еще несколько несоответствий вижу, скажем, у вас сначала +4Y, а потом, в системе, -4Y.

Уравнения получились неприятные (ищем пересечение двух гипербол), так что давайте на всякий случай пересчитаем, прежде чем бросаться решать.

[hermonel1]

Тов
$Z^2-(12 + 4i) Z + 77 +52i = 0$ - была ошибка Sorry $Z^2 - ...$
$(x + iy)^2 - (12+ 4i)(x+iy) +77 +52i = 0$
$x^2 + 2xiy - y^2 -((12+4i)(x+iy)) + 77 + 52i = 0$
$x^2 + 2xiy - y^2 -(12x+12iy+4xi-4y) + 77 + 52i = 0$ ($(4i) yi = -4y$ т.к. $i^2 = -1$ )
$x^2 + 2xiy - y^2 - 12x -12iy - 4xi + 4y+ 77+ 52i = 0$
Далее
$x^2 -y^2 - 12x+ 4y+ 77 =0$
$2xy - 12y - 4x + 52 = 0$
(Исправила по Вашему замечанию)
А далее....?

[AD]

Не понял:
1. Почему вы заменили $z^2$ на $(x-iy)^2$, хотя $z=x+iy$?
2. Откуда у вас взялось $i^i$?

hermonel1 писал(а):

($4i^iy = -4y$ т.к. $i^2 = -1$ )

3. По-прежнему разные знаки у $4y$:

hermonel1 писал(а):

$x^2 - 2xiy - y^2 - 12x -12iy - 4xi + 4y+ 77+ 52i = 0$
...
$x^2 -y^2 - 12x - 4y+ 77 =0$

А, в целом, правильно.
Итак, с учетом этих замечаний, в предположении их правильности, имеем систему

$$\left\{\begin{aligned} x^2 -y^2 - 12x + 4y+ 77& =0,\cr 2xy - 12y - 4x + 52& = 0;\end{aligned}\right.$$

Начинаю думать ...

Добавлено спустя 10 минут 16 секунд:

Эта система приводится к виду

$$\begin{cases}(x-6)^2-(y-2)^2&=-45,\cr(x-6)(y-2)&=-14,\end{cases}$$

и после замены переменных $u=x-6$, $v=y-2$ становится совсем простой. Это я просто выделил полные квадраты в первом уравнении, а во втором - ну, как бы это сказать, "полное произведение" выделил.

[hermonel1]

Огромное спасибо. Теперь начинаю думать я. У меня экзамен в пятницу, и Ваша помощь просто не оценима. Со вторым примером постараюсь разобраться сама согласно Вашей идее.
Спасибо.

[AD]

У меня ответ сошёлся

[hermonel1]

Доброе утро.
Получилось.Правда эта совсем простая системка четвёртого порядка заняла у меня больше времени чем у Вас.Воодушевившись, приступила ко второму уравнению и упс....
Снова прошу помощи

$(1+i)Z^2 + (19 + 3i)Z + 54 - 28i = 0$
$(1+ i)(x^2 + 2xiy - y^2) + (19 + 3i)(x + iy)+ 54 - 28i = 0$
$x^2 + 2xiy - y^2 + x^2i - 2xy - y^2i + 19x + 19iy + 3xi - 3y + 54 - 28i =0$

Получаем систему
$x^2 - y^2 - 2xy + 19x - 3y + 54 =0$
$x^2 - y^2 + 2xy + 19y + 3x - 28 =0$
Дальше никак не выходит. Помогите разобраться пожалуйста
Она такая красивая и такая нерешучая

[Алексей К.]

hermonel1 писал(а):

Снова прошу помощи
$(1+i)Z^2 + (19 + 3i)Z + 54 - 28i = 0$

Если это и есть уравнение, которое надо решить --- решайте его как обычное квадратное уравнение $aZ^2+bZ+c=0$. Подумаешь --- коэффициенты комплексные! И не надо городить систему, не надо подставлять $Z=x+i y$. Всё вроде бы легко решается.

[hermonel1]

Свободный член $54 - 28i$ ?

[Алексей К.]

Ну да!
$b^2-4ac=24+10i$. И корень из этого выражения легко извлекается.

hermonel1 писал(а):

Спасибки, будем действовать

Действуйте, а я пока втихаря дaм следующую подсказку: $24+10i=5^2+2\cdot 5\cdot i+i^2$. Cofee-break.

[hermonel1]

Спасибки, будем действовать.
А всё таки, можно ли что-то сделать с моим "крокодилом" ?

[Алексей К.]

Можно, конечно. Убедитесь сначала, насколько просто это делается без крокодила. Самый тупой способ --- из первого уравнения вычесть второе, ($x^2-y^2$ исчезнет), выразить $x$ через $y$ (или наоборот), подставлять, упрощать, приводить, выделять, решать. Но это, повторяю, по-тупому, лучше почесать репку и действовать по-ADовски.