Комплексные числа

[hermonel1]

ответ :
$-7+ 5i$
$-4 + 3i$ ?

[Алексей К.]

Да.

[hermonel1]

Может по тупому, но так требует учитель.
1 курс - нужно с топором хрусталь гранить научиться,
а уж потом тебе инструмент дают. Он всегда так.
Спасибо большое, отличный сайт.

[Someone]

Алексей К. писал(а):

... а я пока втихаря дaм следующую подсказку: $24+10i=5^2+2\cdot 5\cdot i+i^2$.

А для более сложных случаев можно заранее решить уравнение $(x+yi)^2=a+bi$ при $b\neq 0$:

$$x+yi=\pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}2}\right)\text{.}$$

[Алексей К.]

... или действовать через тригонометрическую форму комплексного числа? что, должно быть, эквивалентно не только по сути, но и по "сложности".

[hermonel1]

А для более сложных случаев можно заранее решить уравнение $(x+yi)^2=a+bi$ при $b\neq 0$:

$$x+yi=\pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}2}\right)\text{.}$$

Спасибо за формулу. Это должен был быть мой следующий вопрос. Тригонометрическая форма пока мне не знакома - мы только в самом начале темы, но я думаю стоит уже разобраться, очень интересно и полезно.

[Профессор Снэйп]

У меня есть подозрение, что Someone свою формулу через тригонометрическое представление и вывел.

Каждое комплексное число $z$ можно записать в виде $z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r = |z|$ --- неотрицательное действительное число. Угол $\varphi$ называется аргументом числа $z$. При $z=0$ считается, что аргумент $z$ не определён, а для всех остальных $z$ аргумент задаётся однозначно с точность.до $2 \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для произвольного числа $\alpha$ если $z = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$, то $z^\alpha = r^\alpha (\cos (\alpha \varphi) + i \sin (\alpha \varphi))$. В частности, при $\alpha = 1/2$ получаем формулу для извлечения квадратного корня.

Попробуйте выяснить, чему равен $\sqrt[3]{1+i}$. Ну а если это покажется слишком просто, попытайтесь понять, чему равно, например, $(1+i)^{1+2i}$

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

У меня есть подозрение, что Someone свою формулу через тригонометрическое представление и вывел.

Это не обязательно. Можно идти тем же путём, который в этой теме обсуждался: составить систему уравнений, отделив действительную и мнимую части в уравнении $(x+yi)^2=a+bi$.

Формула, конечно, не моя, она есть (почти в таком же виде), например, в следующем задачнике (задача 1.57):

Сборник задач по теории аналитических функций. Под редакцией М.А.Евграфова. "Наука", Москва, 1972.