Рациональные корни уравнения

[Levon]

Найти рациональные решения уравнения

${y}^{2}=5\,{x}^{4}+8\,{x}^{3}-6\,{x}^{2}-8\,x+5$

[Levon]

С помощью Mapl при приведении уравнения $f(x,y)=5\,{x}^{4}+8\,{x}^{3}-6\,{x}^{2}-{y}^{2}-8\,x+5=0$ к форме Вейерштрасса без указания рациональной точки - программа выдает ответ в радикалах:

allvalues(algcurves[Weierstrassform](f, x, y, z, t))
[z^3+t^2-176*z-896, (2*(y*sqrt(5)+x^2+4*x-5))/x^2, -(4*(2*sqrt(5)*x^3-3*sqrt(5)*x^2-6*x*sqrt(5)+2*y*x+5*sqrt(5)-5*y))/x^3, (-2*sqrt(5)*t+8*z+64)/(z^2-4*z-96), (-sqrt(5)*z^3+4*sqrt(5)*z^2+208*z*sqrt(5)-8*z*t+1216*sqrt(5)-64*t)/(z^3-16*z^2-48*z+1152)], [z^3+t^2-176*z-896, (2*(-y*sqrt(5)+x^2+4*x-5))/x^2, -(4*(-2*sqrt(5)*x^3+3*sqrt(5)*x^2+6*x*sqrt(5)+2*y*x-5*sqrt(5)-5*y))/x^3, (2*sqrt(5)*t+8*z+64)/(z^2-4*z-96), (sqrt(5)*z^3-4*sqrt(5)*z^2-208*z*sqrt(5)-8*z*t-1216*sqrt(5)-64*t)/(z^3-16*z^2-48*z+1152)]

А с указанием рациональной точки $P(x, y) = (1, 2)$ оно выглядит уже без радикалов:

algcurves[Weierstrassform](f, x, y, z, t, [1, 2, 1])
[z^3+t^2-176*z-896, -(4*(4*x^2-2*x+y))/(x^2-2*x+1), (8*(7*x^3+3*x^2+3*x*y-9*x-y+3))/(x^3-3*x^2+3*x-1), (z^2+4*t+8*z+16)/(z^2+32*z+176), (2*z^4+24*t*z^2-64*z^3+320*t*z-2112*z^2+896*t-18432*z-52736)/(z^4+64*z^3+1376*z^2+11264*z+30976)]

Далее с помощью Pari/gp вычисляя ранг и точки кручения кривой $g(z,t)={{\it z}}^{3}+{{\it t}}^{2}-176\,{\it z}-896=0$ получается:

ellanalyticrank(ellinit([0,0,0,-176,-896]))[1]
%1 = 0

Следовательно на кривой нет рациональных точек бесконечного порядка.

elltors(ellinit([0,0,0,-176,-896]))
%2 = [2, [2], [[-8, 0]]]

Рациональные точки конечного порядка на $g(z,t)$ это $(z,t)=(-8,0)$ и $\infty$.

[dmd]

А если без Maple, какая замена приводит к форме Вейерштрасса?

[Levon]

Уважаемый dmd

По схеме Морделла, где изначально предполагается, что известна хоть одна рациональная точка:
В нашем случае $P(x, y) = (1, 2)$. Подстановкой $x=x_{1}+1$ уравнение $f(x,y)=5\,{x}^{4}+8\,{x}^{3}-6\,{x}^{2}-{y}^{2}-8\,x+5=0$ приводится к виду $5\,{{\it x_1}}^{4}+28\,{{\it x_1}}^{3}+48\,{{\it x_1}}^{2}-{{\it y_1}}^{2}+24\,{\it x_1}+4$.

Затем подстановкой ${\it x_1}={{\it X_1}}^{-1}$ и ${\it y_1}={\frac {{\it Y_1}}{{{\it X_1}}^{2}}}$ уравнение приводится к виду $4\,{X_{1}}^{4}+24\,{X_{1}}^{3}+48\,{X_{1}}^{2}-{Y_{1}}^{2}+28\,X_{1}+5$.

С последующей подстановкой [X_{1}=X_{2}/4,Y_{1}=Y_{2}/4]$ приводится к виду: ${X_{2}}^{4}+24\,{X_{2}}^{3}+192\,{X_{2}}^{2}-4\,{Y_{2}}^{2}+448\,X_{2}+320$.

А после еще одной подстановки: $X_{2}=X_{1}-6$ и $Y_{2}=Y_{3}/2$ получается:${X_{1}}^{4}-24\,{X_{1}}^{2}-{Y_{3}}^{2}-128\,X_{1}+656=0$.

Наконец в полученном уравнении подстановкой: $Y_{3}=-{X_{1}}^{2}+2\,u+4$ и $X_{1}={\frac {v+16}{u-4}}$ уравнение приводится к виду: ${v}^{2}={u}^{3}-176\,u+896$. Источник: С. А. Степанов, Арифметика..., ст-114.

[dmd]

Нда, интересно. В один шаг замена получается такая

$x=\frac{2 u-v-24}{6 u-v-40},y=\frac{2 \left(2 u^3-12 u^2-v^2-32 v-192\right)}{(6 u-v-40)^2}$

После замены выражение факторизуется

$-\frac{16 (u-4)^3 \left(u^3-176 u-v^2+896\right)}{(6 u-v-40)^4}$

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Levon]

Ну конечно, более рациональная параметризация, ничего не скажешь.
Но интересно, при Вашем подходе пользовались ли условием, что изначально дана одна рациональная точка?
А то представив параметризацию в окончательном виде: $x={\frac {{z}^{2}+4\,t+8\,z+16}{{z}^{2}+32\,z+176}}$,$y={\frac {2\,{z}^{4}+24\,t{z}^{2}-64\,{z}^{3}+320\,tz-2112\,{z}^{2}+ 896\,t-18432\,z-52736}{{z}^{4}+64\,{z}^{3}+1376\,{z}^{2}+11264\,z+ 30976}}$ также можно сказать - в один шаг.
После замены выражение факторизуется
$64\,{\frac { \left( {z}^{3}+{t}^{2}-176\,z-896 \right) \left( 3\,{z}^ {4}+28\,t{z}^{2}+4\,{z}^{3}+20\,{t}^{2}+416\,tz-928\,{z}^{2}+1728\,t- 8896\,z-22272 \right) }{ \left( {z}^{2}+32\,z+176 \right) ^{4}}} $.

[Levon]

В последующем, для определения всех рациональных точек кривой $f(x,y)$, при обратном преобразовании в первом случае соответствующие знаменатели равняются нулю и в результате получается неопределенность.
Во втором случае, получается, что кривая $f(x,y)$ кроме точки $P(x, y) = (1, 2)$ имеет еще одну рациональную точку: $P(x, y) = (-1, 2)$. В итоге на кривой получаются всего четыре точки: $P(x, y) = (1, 2);P(x, y) = (-1, 2);P(x, y) = (1, -2);P(x, y) = (-1, -2)$.

Если я правильно понимаю, это исходит из за того, что по схеме Морделла свободный член исходного уравнения изначально предполагается равным квадрату и для выполнения этого условия, при соответствующем преобразовании все равно нужно указать одну рациональную точку в исходном уравнении. В нашем примере при замене ${x}={x}+1\,$ оно превращается к такому виду ${y}^{2}=5\,{x}^{4}+28\,{x}^{3}+48\,{x}^{2}+24\,x+4$. После этого Мапл делает свое дело на отлично и мы приходим ко второму случаю без задания рациональной точки.

Можно ли отсюда делать вывод, что в процессе последоватрельных параметризаций приведенные уравнения теряют бирациональною эквивалентность? В этом случае можно ли утверждать, что без задания рациональной точки исходного уравнения всегда (или иногда?) возникает путаница, если свободный член не квадрат?

Есть ли ошибка в доводах?

[scwec]

Если заменить свободный член $5$ в исходном уравнении на натуральное число $N$, то никаких рациональных точек (кроме точек конечного порядка) на соответствующей эллиптической кривой нет при $N=3,5,6,7,11,12,13,14,15,19.....$.
Думаю, что бирациональная эквивалентность здесь не имеет никакого значения. Морделл не заметил (или не захотел заметить), что его преобразования не требуют, вообще говоря, наличия рациональной точки на кривой 4 порядка. Формально говоря, это не справедливо, но наивный пользователь поверил и стал использовать Морделловский порядок, который всех устраивает.
Предлагаю найти рациональные точки на кривой $y^2=5x^4+8x^3-6x^2-8x+8$

-- Сб июл 01, 2017 01:19:11 --

[Levon]

Уважаемый scwec

Для случаев $N=5,7,15,19$ соответствующие формы Вейерштрасса - с точками конечного порядка (ранг кривых равен нулю), для случая $N=13$ - ранг кривой равен двум, а для остальных случаев - ранг кривых единица. Интересно, чем обосновано Ваше утверждение:

Цитата:

Если заменить свободный член $5$ в исходном уравнении на натуральное число $N$, то никаких рациональных точек (кроме точек конечного порядка) на соответствующей эллиптической кривой нет при $N=3,5,6,7,11,12,13,14,15,19.....$.

допустим для случая $N=3$.

Кроме того, прошу прояснить, что подразумеваете под словами "вообще говоря"?

Цитата:

Морделл не заметил (или не захотел заметить), что его преобразования не требуют, вообще говоря, наличия рациональной точки на кривой 4 порядка.

Если это относится к кривым 4 порядка общего вида, то это понятно.

Но в книжке Морделла (пользовался Вашей ссылкой) "DIOPHANTINE EQUATIONS", на странице 77 даказана теорема: "Если кривая четвертого порядка ${y}^{2}=a{x}^{4}+b{x}^{3}+c{x}^{2}+dx+e$ имеет рациональную точку, то она эквивалентна кубической кривой ${Y}^{2}=4\,{X}^{3}-g_{2}\,X-g_{3}$", которая, как я понимаю, дает возможность в некоторых случаях, когда на кубической кривой определены рациональные точки, обратными преобразованиями найти соответствующие рациональные точки исходной кривой, кроме конечно тех случаев, когда эти преобразования приводят к неопределенностям и тогда вопрос остается открытым.

Разве исходные и приведенные кривые не связаны посредством бирационального преобразования?

На счет Вашей точки зрения

Цитата:

но наивный пользователь поверил и стал использовать Морделловский порядок, который всех устраивает.

не разделяю.

А на кривой ${y}^{2}=5\,{x}^{4}+8\,{x}^{}-6\,{x}^{2}-8\,x+8$ рациональные точки:
$P \left( x,y \right) =[-82/145,13076/4205],P \left( x,y \right) =[-82/145,-13076/4205]$ и т.д.

[scwec]

Levon, Вы, по моему, ошибаетесь вот где: вернемся к исходному уравнению.
Из Maple получено выражение

z^3+t^2-176*z-896 

для уравнения в форме Вейерштрасса.
Само же уравнение нужно записывать так: $t^2=z^3-176z+896$
У Вас

ellanalyticrank(ellinit([0,0,0,-176,-896]))[1]

т.е. уравнение $t^2=z^3-176z-896$.
И далее, уже при произвольном $N$ всё то же самое: Вы, видимо, вычисляете ранги кривых с уравнениями
$w^2=u^3-(76+20N)u-176-144N$, а нужно вычислять ранги кривых $w^2=u^3-(76+20N)u+176+144N$.
Т.е. из Maple Вы извлекаете уравнение для использования его в Pari не с тем знаком у свободного члена.
Что касается бирациональной эквивалентности, то, конечно, она у Морделла есть и ни при чем она только для "наивного пользователя".
Вообще, иногда поменьше надо обращать внимания на сопутствующие выражения.
Рациональные точки вычислены верно. Поделитесь, если можете, как они найдены.

[Levon]

Уважаемый scwec, Вы правильно заметили, я допустил ошибку. Для исходного уравнения преобразование в форму Вейерштрасса от руки (без использования algcurves[Weierstrassform]) я же получал выражение в виде: $ $t^2=z^3-176z+896$$

Levon в сообщении #1229648 писал(а):

Уважаемый dmd

...Наконец в полученном уравнении подстановкой: $Y_{3}=-{X_{1}}^{2}+2\,u+4$ и $X_{1}={\frac {v+16}{u-4}}$ уравнение приводится к виду: ${v}^{2}={u}^{3}-176\,u+896$...

Я упустил, что преобразованную форму Вейерштрасса из Мапл нужно в последующем использовать с обратным знаком свободного члена (предварительно заменив $x$ на $-x$).
Но для $N=5$ после исправления Pari/gp выдает рациональные точки конечного порядка на $g(z,t)$ $(z,t)=(-4,16),(-8,0),(-4,-16)$ и $\infty$. В итоге на исходной кривой найденные точки случайно совпали на те же точки: $P(x, y) = (1, 2);P(x, y) = (-1, 2);P(x, y) = (1, -2);P(x, y) = (-1, -2)$. Спасибо за замечание.
Для $N=8$ разЪясню попозже, после работы.
Вот никак не могу найти подход для случая $N=18$.

[Levon]

Для случая $ $N=8$$.
С помощью Мапл, через функцию "sequence" стараемся найти рациональные значения формы Вайерштрасса исходной функции $y=\pm \left( \sqrt {-{x}^{3}+236\,x+1328} \right)$ (ранг кривой $r=1$). К нашему "счастью" легко находим одну точку $P=(8,52)$. Далее уже или с помощью Pari/gp или по классике (на всякий случай):
Запишем уравнение касательной в общем виде: ${\it yk}=y_{0}+{\frac {\rm d}{{\rm d}x}}y \left(x_{0} \right) \left( x-x_{0} \right) $
Теперь найдем производную:
Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле: $ \left \frac{\partial y }{\partial x ~} \right ~=\frac{\frac{\partial }{\partial x }~F \left(x ,y \right)}{\frac{\partial }{\partial y }~F \left(x ,y \right)}$$\left \frac{\partial y }{\partial x ~} \right ~$.
Для нашей функции: ${\frac {\partial }{\partial x}}F \left( x,y \right) =3\,{x}^{2}-236$, ${\frac {\partial }{\partial y}}F \left( x,y \right) =2\,y$. Тогда: ${\frac {\rm d}{{\rm d}x}}y \left( x \right) =1/2\,{\frac {3\,{x}^{2}-236}{y}}$, следовательно уравнение касательной примет вид: $ ${\it yk}=632/13+11/26x $.
Решив систему уравнений: $y={\frac {11\,x}{26}}+{\frac{632}{13}}$, ${x}^{3}+{y}^{2}-236\,x-1328=0$, находим вторую точку: $P(x,y)=(-10937/676,734157/17576)$ и т.д.

[scwec]

Levon в сообщении #1231500 писал(а):

Вот никак не могу найти подход для случая $N=18$.

Для $N=18$ рациональная точка на соответствующей кривой $w^2=u^3-436u+2768$, например, $(u,w)=(208/9,1916/27)$.

[Levon]

Уважаемый scwec
Привожу коману в Мапл которым я пользовался для случая $N=8$, может пригодится, конечно если не нашли:

seq(`if`(type(sqrt(-x^3+236*x+1328), 'rational'), [x, sqrt(-x^3+236*x+1328)], NULL), x = -100 .. 100, 1/100)

Для случая $N=18$ она не помогла.