Экстраполяция противоречивости

[Z1X]

mihaild, я уже тут 4-й раз попадаюсь на очередную вариацию парадокса Сколема. Немного неловко даже.
Xaositect, да вы правы. Получается, если $\mathrm{ZFC + \neg\operatorname{Con}(ZFC)}$ является и теорией, и метатеорией, то модели нет. Но что, если просто строить модель в $\mathrm{ZFC}$, а дальше просто перенести это построение в $\mathrm{ZFC + \neg\operatorname{Con}(ZFC)}$? Кажется, что такое возможно.

[epros]

Z1X в сообщении #1228410 писал(а):

Пусть имеется формальная теория $\mathrm{ZFC+\neg Con(ZFC)}$. Аксиома $\mathrm{\neg Con(ZFC)}$ означает, что в $\mathrm{ZFC}$ можно вывести некоторое утверждение и его отрицание. Но тогда и в $\mathrm{ZFC+\neg Con(ZFC)}$ можно вывести такое же противоречие, значит истинно $\mathrm{\neg Con(ZFC+\neg Con(ZFC))}$. Ведь все так?

Гуглите "омега-противоречивость".

[Z1X]

epros, вот ваше утверждение:

epros в сообщении #224159 писал(а):

Скажу даже более того: Если арифметика омега-противоречива, но непротиворечива, то метатеория, принимающая истинность арифметики, будет уже противоречивой.

Как это согласуется с теоремой Геделя о том, что у непротиворечивой теории всегда есть модель (и эта модель строится в предположение непротиворечивости метатеории)?

[epros]

Z1X в сообщении #1228974 писал(а):

Как это согласуется с теоремой Геделя о том, что у непротиворечивой теории всегда есть модель (и эта модель строится в предположение непротиворечивости метатеории)?

Э...э, а в чём несогласуемость?

[Z1X]

Ну, получается, что из омега-противоречивости арифметики следует противоречивость любой теории множеств, в которой арифметика может быть построена. То есть:
-пусть арифметика омега-противоречива, но непротиворечива
-тогда по теореме о существовании модели существует модель в той же ZFC
-тогда по вашему утверждению ZFC противоречива

Как-то так, да?

[epros]

Z1X в сообщении #1229009 писал(а):

Ну, получается, что из омега-противоречивости арифметики следует противоречивость любой теории множеств, в которой арифметика может быть построена.

Ну, наверное не любой, а только такой, в которой непротиворечивость арифметики может быть доказана. Есть такие варианты теории множеств, которые не сильнее арифметики Пеано первого порядка (я сейчас имею в виду General Set Theory), в них существование модели арифметики недоказуемо.

Z1X в сообщении #1229009 писал(а):

-тогда по теореме о существовании модели существует модель в той же ZFC
-тогда по вашему утверждению ZFC противоречива

Хм, если говорить конкретно о ZFC, то, насколько я понимаю, в ней реализуема трансфинитная индукция до ординала $\varepsilon_0$, а стало быть в силу теоремы Гентцена непротиворечивость арифметики Пеано первого порядка доказуема.

Стало быть, из предположения об омега-противоречивости арифметики должен следовать вывод о противоречивости ZFC. Что не отменяет возможность доказательства в ZFC существования модели арифметики (ибо в противоречивой теории доказуемо вообще всё ). В чём несогласуемость?