Как решить данный повторный интеграл в полярных координатах?

[lituskirill]

Дан повторный интеграл $\int\limits_{0}^{a}{dy}\int\limits_{\sqrt{ay-{{y}^{2}}}}^{\sqrt{{{a}^{2}}-{{y}^{2}}}}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}dx}$. Необходимо вычислить его в полярных координатах.
Я нарисовал для наглядности область интегрирования

Выразил подынтегральную функцию в полярных координатах: $z=\sqrt{{{a}^{2}}-{{r}^{2}}}$
Но как расставить здесь пределы интегрирования правильно, я не могу понять.
Я попытался поступить так: $a\sin \varphi \le r\le a$, $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$.

-- 16.06.2017, 19:48 --

Хотя я думаю, что $0\le r\le a$, а вот $\varphi $ изменяется от полуокружности с радиусом a/2, до полуокружности с радиусом a.

[Lia]

Вы, можно сказать, решили. Осталось поднатужиться и записать.
(И найти решение в своем тексте )

[Dan B-Yallay]

lituskirill в сообщении #1226298 писал(а):

Хотя я думаю, что $0\le r\le a$, а вот $\varphi $ изменяется от полуокружности с радиусом a/2, до полуокружности с радиусом a.

Нет, в полярных координатах это неправильно. Нарисуйте радиус-вектор и убедитесь, что первоначальный подход был верен:

lituskirill в сообщении #1226298 писал(а):

Я попытался поступить так: $a\sin \varphi \le r\le a$, $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$.

[lituskirill]

Dan B-Yallay в сообщении #1226312 писал(а):

первоначальный подход был верен

Спасибо большое, я в первый раз так и поступил, но ответ не сошёлся из-за того что я пропустил одну степень, причем потом дважды перепроверял после этого

[provincialka]

Главное, якобиан не забыть за всеми мучениями-то