2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 второй замечательный предел
Сообщение07.02.2008, 14:55 
Добрый день.

Поясните пожалуйста, почему следующее рассуждение не верно:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \ (1+1/x) ^ x = \lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x (1+1/x))$$

далее

$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x (1+1/x)) = \prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

а так как
$$\lim\limits_{x \to \infty} \ (1+1/x) = 1$$ ,
то и

$$\prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x)) = 1$$

То есть при нахождении второго замечательного предела просто используем теореммы об арифметических действиях над переменными имеющими предел.

 
 
 
 
Сообщение07.02.2008, 15:02 
Roll писал(а):
$$\prod\limits_{1}^x (1+1/x))$$

Первый вопрос - у нас по условию $x$ целое?

Roll писал(а):
$$\prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

Как вы понимаете это выражение, то есть порядок действий в нём?
Сначала вы устремили $x$ к бесконечности, а потом перемножили $x$ множителей? :?

 
 
 
 Re: второй замечательный предел
Сообщение07.02.2008, 22:59 
Аватара пользователя
Roll писал(а):
$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x (1+1/x)) = \prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

В левой части $x$, как сказали бы логики, связная переменная, а в правой она и связная, и свободная. Такой переход не корректен.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 14:03 
AD писал(а):
Roll писал(а):
$$\prod\limits_{1}^x (1+1/x))$$

Первый вопрос - у нас по условию $x$ целое?


Допустим, что x - целое. Иначе представить степень через произведение наверно не получится.

AD писал(а):
Roll писал(а):
$$\prod\limits_{1}^x (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

Как вы понимаете это выражение, то есть порядок действий в нём?
Сначала вы устремили $x$ к бесконечности, а потом перемножили $x$ множителей? :?


Ок. Пусть будет

$$\prod\limits_{1}^{x \to \infty} (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$

То есть берется сколь угодно большое кол-во произведений (1+1/x).

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 14:18 
Roll писал(а):
$$\prod\limits_{1}^{x \to \infty} (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$
В страшных снах таких выражений не видел ... Пока в ступоре. Очень надеюсь, что вы сами понимаете, что написали. Хотя причин для этого не много.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 14:29 
AD писал(а):
Roll писал(а):
$$\prod\limits_{1}^{x \to \infty} (\lim\limits_{x \to \infty}(1+1/x))$$
В страшных снах таких выражений не видел ... Пока в ступоре. Очень надеюсь, что вы сами понимаете, что написали. Хотя причин для этого не много.

А что тут такого страшного ? :? Формально запись наверно неправильная. Но суть я думаю понятна.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 14:39 
Аватара пользователя
Нет, суть непонятна. Математического смысла такая запись не имеет. После того, как взят предел при $x\to\infty$, выражение больше от $x$ не зависит, и в точности равно 1.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 14:49 
Аватара пользователя
Всякое вычисление пределов происходит путем нескольких применений тех или иных теорем о свойствах пределов. Вот и попробуйте обосновать таким образом каждый шаг своих вычислений. Тогда и станет видна ошибка - один из шагов "не подлезет" ни под какую из теорем.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 15:29 
Brukvalub писал(а):
Всякое вычисление пределов происходит путем нескольких применений тех или иных теорем о свойствах пределов. Вот и попробуйте обосновать таким образом каждый шаг своих вычислений. Тогда и станет видна ошибка - один из шагов "не подлезет" ни под какую из теорем.


ОК.

Верно ли что
$$\lim\limits_{x \to a} \ (f(x)) ^ x = \lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x))) = \prod\limits_{1}^a (\lim\limits_{x \to a}( (f(x)))) $$

( a - целое конечное число. f (x) в моем случае = 1+1/x )

?

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 15:31 
Аватара пользователя
Странно, я задал вопрос именно Вам. Зачем Вы переадресовываете его мне? Пока Вы сами не попытаетесь все обосновать, ясности у Вас не наступит.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 15:43 
Brukvalub писал(а):
Странно, я задал вопрос именно Вам. Зачем Вы переадресовываете его мне? Пока Вы сами не попытаетесь все обосновать, ясности у Вас не наступит.


Я собственно и пытаюсь изложить ход своих мыслей.
1) Выражаем степень через произведение.

$$\lim\limits_{x \to a} \ (f(x)) ^ x = \lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x)))$$

2) Применяем теорему о равенстве предела произведения переменных произведению пределов.
$$\lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x))) = \prod\limits_{1}^a (\lim\limits_{x \to a}( (f(x)))) $$

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 15:47 
Аватара пользователя
Первое равенство непонятно, так как Вы просто непонятно на каком основании заменили $(f(x))^x$ на неравное ему выражение $(f(x))^a$.

Проще будет написать $(f(x))^x=e^{x\ln f(x)}$.

Затем, используя непрерывность экспоненты, поднимаете операцию перехода к пределу в показатель степени. Затем используете предел произведения... Ну и так далее.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 15:56 
Аватара пользователя
Второе - тоже. Левая часть без lim - уже число и от x не зависит, в правой - степень от предела функции. Равенством здесь и не пахнет

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 16:07 
PAV писал(а):
Первое равенство непонятно, так как Вы просто непонятно на каком основании заменили $(f(x))^x$ на неравное ему выражение $(f(x))^a$.


Значит

$$\lim\limits_{x \to a} \ (f(x)) ^ x \neq \lim\limits_{x \to a}( \prod\limits_{1}^a (f(x)))$$
( a - целое конечное число.)

?
Если это так, то как это можно доказать или хотя бы можете привести контрпример ?

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 16:10 
Аватара пользователя
bot писал(а):
Второе - тоже. Левая часть без lim - уже число и от x не зависит, в правой - степень от предела функции. Равенством здесь и не пахнет


Это не совсем так. Символом $\prod\limits_{1}^a$ автор обозначает просто умножение выражение само на себя $a$ раз, или как мы это проще называем - возведение в степень $a$. Так что тут равенство есть, так как предел произведения равен произведению пределов.

Добавлено спустя 1 минуту 47 секунд:

Roll,
Я не утверждал, что равенство неверно. Но его нужно правильно обосновать.

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group