2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение08.02.2008, 16:40 
Аватара пользователя
PAV писал(а):
Это не совсем так. Символом $\prod\limits_{1}^a$ автор обозначает просто умножение выражение само на себя $a$ раз, или как мы это проще называем - возведение в степень $a$.

Хм, а я левую часть квалифицировал как небрежность и понимал так: \prod\limits_{1}^a f(x) = \prod\limits_{x=1}^a f(x) = f(1)\cdot f(2)\cdot ... \cdot f(a)$

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Собссно, чего мы вокруг да около ходим и ... всё дальше от вопроса. Пусть лучше автор сформулирует теорему о пределе произведения и выпишет несколько членов последовательности...

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 16:45 
Аватара пользователя
Например, есть такая теорема: если\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = a\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = b, то \[
\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = a \cdot b
\]
Кроме того, из других соображений известно, что \[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = 1\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2^x  = 1\]
Поэтому \[
\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x \cdot 2^x  = 1 \cdot 1 = 1
\] Именно таких объяснений я и жду от Вас.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 23:11 
Brukvalub писал(а):
Например, есть такая теорема: если\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = a\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = b, то \[
\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = a \cdot b
\]
Кроме того, из других соображений известно, что \[
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = 1\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2^x  = 1\]
Поэтому \[
\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x \cdot 2^x  = 1 \cdot 1 = 1
\] Именно таких объяснений я и жду от Вас.


Так как $$\lim \limits_{x \to \infty} (1+1/x) = 1$$, то $$\lim \limits_{x \to \infty} (\prod\limits_{1}^\infty (1+1/x))$$ = $$\prod\limits_{1}^\infty (1)$$ = 1
Только смущает то, что теорема о произведении справедлива для конечного числа сомножителей...

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 23:19 
Roll писал(а):
$$\lim \limits_{x \to \infty} (\prod\limits_{1}^\infty (1+1/x))$$
Поясните пожалуйста, что здесь написано? По какой переменной берется бесконечное произведение? Если по $x$ (и если $x$ пробегает натуральный ряд), то во-первых, БП $\prod\limits_{x=1}^\infty \left(1+\frac{1}{x}\right)$ расходится, а во-вторых, даже если бы и сходилось - не зависело бы от $x$ - это было бы просто число, и его незачем ставить под знак предела.

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 23:46 
Аватара пользователя
Roll писал(а):
Только смущает то, что теорема о произведении справедлива для конечного числа сомножителей...
А Вы не смущайтесь. Плюньте на все теоремы и решайте по тем правилам, которые сами придумываете. Экран-то все стерпит. В отличие от преподавателя....

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 00:09 
Аватара пользователя
В данном случае математические действия должны выполняться последовательно. Выражение, стоящее под знаком предела, должно иметь смысл. Вот и объясните, какой смысл имеет $\prod\limits_1^\infty (1+1/x)$. Только не говорите, что смысл появляется, когда берется внешний предел. Так делать нельзя.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 01:31 
Насколько я понял в приведенных мною выше рассуждениях две ошибки:

1) $$\lim\limits_{x \to \infty} \ (f(x)) ^ x \neq \lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$
а значит $$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x(f(x)))$$ нельзя свести к произвидению пределов варианты f(x).

2) Даже если бы 1-ое было бы возможно, то воспользоватся теоремой о произведении пределов нельзя из за бесконечного количества сомножителей

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 01:49 
Аватара пользователя
Roll писал(а):
$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$

Напишите, не поленитесь, по какой переменной идёт произведение. Если по $x$, то $x$ получается связной, и устремлять после этого $x$ к бесконечности нельзя.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 01:56 
Echo-Off писал(а):
Roll писал(а):
$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$

Напишите, не поленитесь, по какой переменной идёт произведение. Если по $x$, то $x$ получается связной, и устремлять после этого $x$ к бесконечности нельзя.


В данном случае берется просто бесконечное произведение (не по переменной).

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 09:17 
а, то есть это у нас "бесконечное произведение" $\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot\ldots}_{\infty}$. Ну всё равно, написали бы $$\prod_{j=1}^\infty f(x)$$, и вопросов бы не было.
Тогда ясно, что
$$\prod_{j=1}^\infty f(x)=\begin{cases}+\infty&\text{, если }f(x)>1\cr1,&\text{, если }f(x)=1\cr0&\text{, если }0\le f(x)<1\end{cases}$$
и не существует при отрицательных $x$.

Ну то есть можно, конечно, устремлять к пределу по $x$, как-никак, эта штука от $x$ зависит. Но, в-общем, вы, видимо, правильно поняли всё в конце концов.
И не забывайте переменную писать, по которой перемножение/суммирование ведётся! Особенно, когда это может привести к непониманию.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 10:38 
Аватара пользователя
Roll писал(а):
Насколько я понял в приведенных мною выше рассуждениях две ошибки:

1) $$\lim\limits_{x \to \infty} \ (f(x)) ^ x \neq \lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$
а значит $$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x(f(x)))$$ нельзя свести к произвидению пределов варианты f(x).

2) Даже если бы 1-ое было бы возможно, то воспользоватся теоремой о произведении пределов нельзя из за бесконечного количества сомножителей

Да, про свои ошибки Вы все написали верно! Удачи в правильном понимании математического анализа.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 12:22 
Всем большое спасибо за помощь !

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group