второй замечательный предел

[bot]

PAV писал(а):

Это не совсем так. Символом $\prod\limits_{1}^a$ автор обозначает просто умножение выражение само на себя $a$ раз, или как мы это проще называем - возведение в степень $a$.

Хм, а я левую часть квалифицировал как небрежность и понимал так: \prod\limits_{1}^a f(x) = \prod\limits_{x=1}^a f(x) = f(1)\cdot f(2)\cdot ... \cdot f(a)$

Добавлено спустя 9 минут 56 секунд:

Собссно, чего мы вокруг да около ходим и ... всё дальше от вопроса. Пусть лучше автор сформулирует теорему о пределе произведения и выпишет несколько членов последовательности...

[Brukvalub]

Например, есть такая теорема: если\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = a\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = b, то

\[ \exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = a \cdot b \]

Кроме того, из других соображений известно, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = 1\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2^x = 1\]

Поэтому

\[ \exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x \cdot 2^x = 1 \cdot 1 = 1 \]

Именно таких объяснений я и жду от Вас.

[Roll]

Brukvalub писал(а):

Например, есть такая теорема: если\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = a\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g(x) = b, то

\[ \exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) \cdot g(x) = a \cdot b \]

Кроме того, из других соображений известно, что

\[ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x = 1\;;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2^x = 1\]

Поэтому

\[ \exists \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \cos x \cdot 2^x = 1 \cdot 1 = 1 \]

Именно таких объяснений я и жду от Вас.

Так как

$$\lim \limits_{x \to \infty} (1+1/x) = 1$$

, то

$$\lim \limits_{x \to \infty} (\prod\limits_{1}^\infty (1+1/x))$$

=

$$\prod\limits_{1}^\infty (1)$$

= 1
Только смущает то, что теорема о произведении справедлива для конечного числа сомножителей...

[Gordmit]

Roll писал(а):

$$\lim \limits_{x \to \infty} (\prod\limits_{1}^\infty (1+1/x))$$

Поясните пожалуйста, что здесь написано? По какой переменной берется бесконечное произведение? Если по $x$ (и если $x$ пробегает натуральный ряд), то во-первых, БП $\prod\limits_{x=1}^\infty \left(1+\frac{1}{x}\right)$ расходится, а во-вторых, даже если бы и сходилось - не зависело бы от $x$ - это было бы просто число, и его незачем ставить под знак предела.

[Brukvalub]

Roll писал(а):

Только смущает то, что теорема о произведении справедлива для конечного числа сомножителей...

А Вы не смущайтесь. Плюньте на все теоремы и решайте по тем правилам, которые сами придумываете. Экран-то все стерпит. В отличие от преподавателя....

[PAV]

В данном случае математические действия должны выполняться последовательно. Выражение, стоящее под знаком предела, должно иметь смысл. Вот и объясните, какой смысл имеет $\prod\limits_1^\infty (1+1/x)$. Только не говорите, что смысл появляется, когда берется внешний предел. Так делать нельзя.

[Roll]

Насколько я понял в приведенных мною выше рассуждениях две ошибки:

1)

$$\lim\limits_{x \to \infty} \ (f(x)) ^ x \neq \lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$

а значит

$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x(f(x)))$$

нельзя свести к произвидению пределов варианты f(x).

2) Даже если бы 1-ое было бы возможно, то воспользоватся теоремой о произведении пределов нельзя из за бесконечного количества сомножителей

[Echo-Off]

Roll писал(а):

$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$

Напишите, не поленитесь, по какой переменной идёт произведение. Если по $x$, то $x$ получается связной, и устремлять после этого $x$ к бесконечности нельзя.

[Roll]

Echo-Off писал(а):

Roll писал(а):

$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$

Напишите, не поленитесь, по какой переменной идёт произведение. Если по $x$, то $x$ получается связной, и устремлять после этого $x$ к бесконечности нельзя.

В данном случае берется просто бесконечное произведение (не по переменной).

[AD]

а, то есть это у нас "бесконечное произведение" $\underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdot\ldots}_{\infty}$. Ну всё равно, написали бы

$$\prod_{j=1}^\infty f(x)$$

, и вопросов бы не было.
Тогда ясно, что

$$\prod_{j=1}^\infty f(x)=\begin{cases}+\infty&\text{, если }f(x)>1\cr1,&\text{, если }f(x)=1\cr0&\text{, если }0\le f(x)<1\end{cases}$$

и не существует при отрицательных $x$.

Ну то есть можно, конечно, устремлять к пределу по $x$, как-никак, эта штука от $x$ зависит. Но, в-общем, вы, видимо, правильно поняли всё в конце концов.
И не забывайте переменную писать, по которой перемножение/суммирование ведётся! Особенно, когда это может привести к непониманию.

[Brukvalub]

Roll писал(а):

Насколько я понял в приведенных мною выше рассуждениях две ошибки:

1)

$$\lim\limits_{x \to \infty} \ (f(x)) ^ x \neq \lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^\infty(f(x)))$$

а значит

$$\lim\limits_{x \to \infty}( \prod\limits_{1}^x(f(x)))$$

нельзя свести к произвидению пределов варианты f(x).

2) Даже если бы 1-ое было бы возможно, то воспользоватся теоремой о произведении пределов нельзя из за бесконечного количества сомножителей

Да, про свои ошибки Вы все написали верно! Удачи в правильном понимании математического анализа.

[Roll]

Всем большое спасибо за помощь !