Соударения некруглых твердых тел с плоскими стенками

[wrest]

Не попадались ли вам задачи (с решениями) навроде таких:
Твердый стержень ударяется о стенку, найти что-нибудь (частоту вращения, траекторию центра тяжести и т.п.). Или ударяется гантель (два шара с невесомой твердой перекладиной) о стенку...

Интересует насколько результат столкновения отличается от такового если в стенку ударяется шар.

Интуитивно мне кажется, что если стенка абсолютно гладкая, скользкая, упругая и твердая, то разницы с шаром не будет: угол падения центра масс будет равен углу отражения, сохранится момент импульса независимо от формы тела.

Может что-то такое было на олимпиадах, или просто описано в каких-то учебниках и т.п.

fred1996, возможно вам попадалось при подготовке ваших подопечных к олимпиадам?

[Munin]

Это называется "теория удара". И в некоторых аспектах может быть сильно нешкольного уровня.

[wrest]

Munin в сообщении #1221439 писал(а):

И в некоторых аспектах может быть сильно нешкольного уровня.

Ну поскольку меня интересует только идеальный случай абсолютно упругого удара без трения о стенку, то возможно, можно обойтись только законами сохранения импульса и момента импульса и не рассматривать сам удар (которых в случае "неправильных" тел будет возможно больше одного).

Например, если в стенку ударяется шар и трения нет, то не имеет значения вращается ли при этом шар, его момент импульса сохранится, а переходя в СО неподвижного центра масс шара, значение имеет только компонента скорости, перпендикулярная поверхности стенки. То есть все сводится к простому абсолютно упругому удару материальной точки, двигающейся по нормали к стенке.

Я подозреваю, что в отсутствии трения никак невозможно чтобы твердое тело "поделилось" моментом импульса с плоской гладкой и скользкой стеной или часть момента импульса тела конвертировалась в импульс этого тела. Но не уверен в этом.

Или, если вы стоите на гладком скользком полу без трения, то вы не сможете подпрыгнуть иначе чем перпендикудярно к полу независимо от конфигурации рук и ног (т.е. не сможете прыгнуть в сторону), и вообще не сможете (без реактивной тяги) сделать ненулевой горизонтальную (параллельную полу) скорость. Или сможете?

Вот об этом хотел почитать.

[Munin]

wrest в сообщении #1221458 писал(а):

Ну поскольку меня интересует только идеальный случай абсолютно упругого удара без трения о стенку, то возможно, можно обойтись только законами сохранения импульса и момента импульса и не рассматривать сам удар (которых в случае "неправильных" тел будет возможно больше одного).

Нужен ещё закон сохранения энергии. Или коэффициент восстановления.
С моментом импульса - нужно выбирать его так, чтобы ударный импульс не менял момента (его рассматриваемой проекции).

wrest в сообщении #1221458 писал(а):

Например, если в стенку ударяется шар и трения нет, то не имеет значения вращается ли при этом шар, его момент импульса сохранится

Для шара да, а для вращающейся палки - нет.

[wrest]

Munin в сообщении #1221467 писал(а):

Нужен ещё закон сохранения энергии. Или коэффициент восстановления.

Абсолютно упругий удар, все очень твердое (то есть в стене не образуется "ямок" за которые можно зацепиться), коэффициент восстановления единица.

Munin в сообщении #1221467 писал(а):

а для вращающейся палки - нет.

Это интуитивно ("очевидно"?), или где-то описано? Я имею в виду конечно ситуацию когда все удары закончились, а центр масс палки движется равномерно и прямолинейно.

[EUgeneUS]

wrest
1. Рассмотрим "гантельку" ориентированную абсолютно перпендикулярно плоскости. Она ударится нижним шаром и отскочит, верхний шар не ударится вообще.
2. Рассмотрим "гантельку" ориентированную почти перпендикулярно плоскости. Она ударится нижним шаром, отскочит и получит момент импульса. А вот верхним шаром может и вовсе не удариться, если наклон небольшой. Момент импульса не погасится вторым ударом.

[DimaM]

wrest в сообщении #1221473 писал(а):

Это интуитивно ("очевидно"?), или где-то описано? Я имею в виду конечно ситуацию когда все удары закончились, а центр масс палки движется равномерно и прямолинейно.

Пусть однородная тонкую палочку длины $l$ со скоростью $v$ ударяется о стену. Угол между направлением скорости и направлением палочки $\alpha$. При ударе сохраняется энергия и момент импульса относительно точки удара (который складывается из движения центра масс и вращения)

$$mv\cdot\dfrac{l\sin\alpha}{2}=\dfrac{ml^2}{12}\omega-mv'\cdot\dfrac{l\sin\alpha}{2},\quad \dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{m{v'}^2}{2}+\dfrac{ml^2\omega^2}{24}.$$

Здесь $v'$ - скорость центра масс после удара (положительное направление - от стенки), $\omega$ - угловая скорость.
Получается

$$v'=\omega l\left(\dfrac{1}{12\sin\alpha}-\dfrac{\sin\alha}{4}\right),\quad \omega l=\dfrac{v}{1/(12\sin\alpha)-\sin\alpha/4}.$$

Скорость второго конца после удара

$$v_2=v'-\dfrac{\omega l}{2}=\omega l\cdot\dfrac{1-3\sin^2\alpha-6\sin\alph}{12\sin\alpha}.$$

При достаточно малом угле эта скорость положительна - второго удара точно не будет, и палочка отскочит, вращаясь. При этом $v'<v$, то есть на отскок налетающего шара совсем не похоже.

P.S. С предложенной выше гантелькой, скорее всего, формулы будут проще.

[Батороев]

wrest в сообщении #1221330 писал(а):

Интуитивно мне кажется, что если стенка абсолютно гладкая, скользкая, упругая и твердая, то разницы с шаром не будет: угол падения центра масс будет равен углу отражения, сохранится момент импульса независимо от формы тела.

Боюсь, создатели регбийного мяча с Вами не согласились бы.

[wrest]

DimaM в сообщении #1221487 писал(а):

и момент импульса относительно точки удара

Почему так?

DimaM в сообщении #1221487 писал(а):

$$v_2=v'-\dfrac{\omega l}{2}=\omega l\cdot\dfrac{1-3\sin^2\alpha-6\sin\alpha}{12\sin\alpha}.$$

При достаточно малом угле эта скорость положительна -

А при нулевом угле - бесконечна?

[DimaM]

wrest в сообщении #1221492 писал(а):

Почему так?

А по какой причине может измениться момент импульса?

wrest в сообщении #1221492 писал(а):

А при нулевом угле - бесконечна?

Нет. При нулевом угле $\omega l=0$. Нетрудно выразить $v'$ и скорость второго конца через $v$ и $\alpha$, пусть это будет вам для самостоятельного упражнения.
Забыл еще добавить, что это скорость второго конца в тот момент, когда палочка будет параллельна стенке.

[Xey]

Батороев в сообщении #1221490 писал(а):

Боюсь, создатели регбийного мяча с Вами не согласились бы.

Бросал об стенку шарик для настольного тенниса. Быстро освоил его ловлю и подумал, какая у меня хорошая реакция. Потом налепил на него комок жвачки , он стал отскакивать в непредсказуемом направлении. Понял, что реакция не очень.

[fred1996]

Munin
Плоская задача представляет достаточно школьный уровень.
Собственно, DimaM предьявил классическую задачу из этого раздела.
А какие еще там могут быть тонкости, кроме сохранения вращательного момента относительно точки удара?

wrest
Я обычно пользуюсь книжкой David Morin, Chapter 7 - задачи и упражнения к этой главе.
Там есть около 25 задач на тему соударений твердых тел между собой и со стенкой.
Тут есть pdf: http://bayanbox.ir/view/197064347483021 ... s-2004.pdf

[Munin]

fred1996 в сообщении #1221658 писал(а):

А какие еще там могут быть тонкости

От многия знания многая печали.

[Pavia]

fred1996
А нету там такого сохранения - энергии перераспределяется между моментом вращения и импульсом. Окромя определённого/ных случаев.
И школьнику это не очевидно так как он привык к простым, упращённым законам сохранения.
Да и 7 главы тут недостаточно у вас статика, а главный герой топика про динамику вопрос задаёт. Тут только после 8 можно решение найти, а можно и ненайти.

Когда учился в ЗФТШ на этой гантельки срезались многие отличники(те у которых были одни пятёрки и шли на поступление без экзаменов.) Верно решившых было около 5-17 из 1200 (все учащиеся).

[fred1996]

Pavia
Срезались потому что скорее всего не решали задач на эту тему.
Если вам на экзамене такую задачу дадут, а у вас не было опыта их решения, то результат достаточно предсказуем. Ну то есть когда я прохожу эту тему даже с очень сильными школьниками, врубаются не сразу и с трудом. Но после 5-10 задач уже соображают в чем фокус. А фокус формулируется просто. Момент внешних сил относительно точуи удара равен нулю. То есть мы можем относительно этой точки пользоваться законом сохранения момента количества движения. Надо просто знать как его считать для твердых тел, которые одновременно вращаются и перемещают свой центр масс.

Можно, конечно, воспользоваться законами Ньютона в импульсной форме и убедиться, что изменение поступательного момента пропорционально изменению вращательного момента относительно центра тяжести. Но после небольших раздумий выяснится, что это эквивалентно изложенному выше.