Углы между векторами

[Ренат195687]

Дорешайте, пожалуйста, только не за рулем, в каком-нибудь спокойном месте. Честное слово, я сам попытался, но не смог. Квадратное уравнение я, наверное, осилю, а вот привести ваше уравнение к виду квадратного не получается.

Добавлено спустя 2 минуты 28 секунд:

Дорешайте, пожалуйста, только не за рулем, в каком-нибудь спокойном месте. Честное слово, я сам попытался, но не смог. Квадратное уравнение я, наверное, осилю, а вот привести ваше уравнение к виду квадратного не получается.

[AD]

Для начала, может, для красоты разделить на $\sin\alpha$? (если он равен нулю, то отсюда $\cos\alpha=\pm1$, откуда $a_2=0$, и вот и всё решение)

А еще можно "дополнительный аргумент" вводить - типа разделить на $C=\sqrt{a_1^2+a_3^2}$, и потом объявить, что $a_1/C=\sin\beta$, $a_3/C=\cos\beta$ (такой угол $\beta$ заведомо существует), и свернуть выражение по формуле косинуса разности $\cos(\xi-\beta)=\cdots$

[Алексей К.]

$(a_1,a_2,a_3)=(0.5,\:2,\:1.6)$?
Сам решать поленился. Попросил ЭВМ. Она сказала:

$$t=\tan\dfrac{\xi}{2}=\dfrac{a_1\pm\sqrt{a_1^2+a_3^2-a_2^2\cot^2\alpha}}{a_3-a_2\cot\alpha}=\dfrac{5\pm\sqrt{281-400\cot^2\alpha}}{4(4-5\cot\alpha)},$$

где $\cot{}$ --- котангенс. Далее $\sin\xi=\dfrac{2t}{1+t^2}$, $\cos\xi=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$.
Всё. Ежели это лёгкое нарушение мною правил форума как-то оправдывается (тем, что в целом тема получилась хорошей иллюстрацией того, что математику учить надо по-настоящему), то дальнейшее дорёшивание будет нарушением вопиющим.

Добавлено спустя 22 минуты 55 секунд:

AD писал(а):

А еще можно "дополнительный аргумент" вводить ...

Можно, конечно, и в 9-м классе учили, кажется, именно так поступать. Более того, это как раз одной рукой делается:

$$a_1\sin\xi+a_3\cos\xi=-a_2\cot\alpha,$$

$$\underbrace{\frac{a_1}{\sqrt{a_1^2+a_3^2}}}_{\cos\beta}\sin\xi+\underbrace{\frac{a_3}{\sqrt{a_1^2+a_3^2}}}_{\sin\beta}\cos\xi=-\frac{a_2\cot\alpha}{\sqrt{a_1^2+a_3^2}},$$

$$\sin(\xi+\beta)=-\frac{a_2\cot\alpha}{\sqrt{a_1^2+a_3^2}}$$

,

$$\xi_1=-\beta-\arcsin\frac{a_2\cot\alpha}{\sqrt{a_1^2+a_3^2}},\quad \xi_2=\pi-\xi_1.$$

Но главное здесь, по-моему, чтобы столь неумело рассчитываемая стержневая конструкция не шагнула с бумаги в жизнь и не ударила бы кого-нибудь стержнем по башке.