Справедлива ли гипотеза?

[vicvolf]

Известна ли гипотеза $F_p+F_{p+2} \equiv 1 \pmod {q}$, где $F_n$ - чиcло Фибоначчи с номером $n$, а $p$ - простое число?
$F_2+F_{4} = 1+2=3 \equiv 1 \pmod {2}$,
$F_3+F_{5} = 1+3=4 \equiv 1 \pmod {3}$,
$F_5+F_{7} = 3+8=11 \equiv 1 \pmod {5}$,
и.т.д.

[vicvolf]

Уточню вопрос.
Известна и справедлива ли гипотеза $F_p+F_{p+2} \equiv 1 \pmod {p}$, где $F_n$ - чиcло Фибоначчи с номером $n$, а $p$ - простое число?
$F_2+F_{4} = 1+2=3 \equiv 1 \pmod {2}$,
$F_3+F_{5} = 1+3=4 \equiv 1 \pmod {3}$,
$F_5+F_{7} = 3+8=11 \equiv 1 \pmod {5}$,
и.т.д.

[kp9r4d]

Попробуйте взять $p=7$.

[grizzly]

kp9r4d в сообщении #1219365 писал(а):

Попробуйте взять $p=7$.

Там всё правильно, просто сбита нумерация.

vicvolf в сообщении #1219362 писал(а):

Известна и справедлива ли гипотеза

Справедлива и известна. См. примечание по этой ссылке. Только нумерацию поправьте.

[kp9r4d]

grizzly в сообщении #1219366 писал(а):

Там всё правильно, просто сбита нумерация.

Ну да, не обратил внимания.

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1219366 писал(а):

vicvolf в сообщении #1219362 писал(а):

Известна и справедлива ли гипотеза

Справедлива и известна. См. примечание по этой ссылке. Только нумерацию поправьте.

Вы имеете ввиду примечание в данной ссылке с использованием формулы Бина? Но я не понял, как указанная мной формула (с исправленной нумерацией) $F_{p-1}+F_{p+1} \equiv 1 \pmod {p}$, получается для любого простого числа $p$? Не могли бы показать?

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1219446 писал(а):

Не могли бы показать?

Давайте попробую. Я покажу только для случая, когда $p=\pm 1\pmod 5$. Случай $p=\pm 2\pmod 5$ оставлю Вам. (Других случаев, кроме $p=5$, быть не может.)

Пусть $p=\pm 1\pmod 5$. Тогда $F_{p-1}=0 \pmod p$, а $F_{p+1}=1 \pmod p$. Суммируя, получим: $F_{p-1}+F_{p+1} \equiv 1 \pmod {p}.$