Интегрирование подстановкой (+ дискуссия о дифференциалах)

[vpx9000]

помогите пожалуйста разобраться.
есть интеграл

$$\int\frac{x^4}{x^5+7}dx$$

решение дано в книге, решается подстановкой. $x^5+7=$t, $dt=5x^4dx$, тогда

(x^4)/x^5+7 = 1/5*∫ln|x^5+7| + c

разъясните, как получается вторая часть равенства ?

[Бодигрим]

Вы нигде $dx$ не потеряли? Пока что это даже не интеграл.

После применения подстановки у вас получится

$$\int {dt\over 5t} $$

. Чему он по-вашему равен?

[PAV]

vpx9000,

используйте правила набора формул, принятые на форуме (как в ответе Бодигрим'а)

[vpx9000]

Бодигрим писал(а):

Вы нигде $dx$ не потеряли? Пока что это даже не интеграл.

После применения подстановки у вас получится

$$\int {dt\over 5t} $$

. Чему он по-вашему равен?

в самом первом выражении dx упустил.
По моему это равно 1/5*ln|t| + C

Но я не могу понять, как осуществился переход при подстановке (

Добавлено спустя 41 секунду:

PAV писал(а):

vpx9000,

используйте правила набора формул, принятые на форуме (как в ответе Бодигрим'а)

к сожалению, у меня нет TeХ'а

[Бодигрим]

Цитата:

Но я не могу понять, как осуществился переход при подстановке

$$\int {x^4\,dx\over x^5+7} = \int {d(x^5+7)\over 5(x^5+7)} = [t\equiv x^5+7] = \int {dt\over 5t}$$

Стало понятнее?

Цитата:

к сожалению, у меня нет TeХ'а

Зато есть клавиатура, верно? Ее обычно хватает, честно.

[vpx9000]

Бодигрим писал(а):

Цитата:

Но я не могу понять, как осуществился переход при подстановке

$$\int {x^4\,dx\over x^5+7} = \int {d(x^5+7)\over 5(x^5+7)} = [t=x^5+7] = \int {dt\over 5t}$$

Стало понятнее?

Цитата:

к сожалению, у меня нет TeХ'а

Зато есть клавиатура, верно? Ее обычно хватает, честно.

thx

Добавлено спустя 22 минуты 16 секунд:

Можете растолковать вкратце, что такое dx ? Читаю учебники, врубиться не могу (

Добавлено спустя 39 минут 40 секунд:

Бодигрим писал(а):

Цитата:

Но я не могу понять, как осуществился переход при подстановке

$$\int {x^4\,dx\over x^5+7} = \int {d(x^5+7)\over 5(x^5+7)} = [t\equiv x^5+7] = \int {dt\over 5t}$$

Стало понятнее?

Цитата:

к сожалению, у меня нет TeХ'а

Зато есть клавиатура, верно? Ее обычно хватает, честно.

Хотя не совсем, если не затруднит, можно досконально объяснить данные шаги решения ?

[Dan B-Yallay]

Цитата:

Можете растолковать вкратце, что такое dx ? Читаю учебники, врубиться не могу (

По определению диффенциала функции

$$ y = f(x) $$

$$ dy = f'(x)dx $$

$$ d(x^5 +7) = 5x^4 dx \Longrightarrow x^4dx = \frac {d(x^5 +7)} 5$$

[Алексей К.]

vpx9000 писал(а):

Можете растолковать вкратце, что такое dx ? Читаю учебники, врубиться не могу

Поверьте, растолковать это вкратце через клавиатуру непросто. Поверьте, если бы мы сидели за столом с ручкой-бумагой, за 10-15 минут многие ба Вам растолковали. Но за 10 минут наколачивания текста, не видя Вашу ответную реакцию, что именно затрудняет, я Вам сообщу раз в 100 меньше, чем это было бы в беседе... Стало быть, условно, надо 1000 минут. Здесь удаётся помочь тем, кто такие базовые вещи знает, или притворяется, что знает, или принимает на веру...

Понять, кто такой $dx$, и как к нему перешли от $\Delta x$, безусловно, необходимо. Мне в 9-м классе это объяснила книга Зельдовича "Высшая математика для начинающих". Вам это надо зачем --- решить задачку? сдать экзамен? понять эту замечательную штуку --- интегральное исчисление? Что именно в учебнике составляет камень преткновения?

[AD]

Dan B-Yallay писал(а):

По определению диффенциала функции

$$ y = f(x) $$

Везёт вам ... я вот вроде слышал про дифференциальные формы, про всё такое, гладкая теория, а всё равно для меня теоремы о замене переменной и интегрировании по частям - скорее случайные совпадения, чем "по определению дифференциала", а буква dx под знаком интеграла - абстрактный символ, удобное обозначение. Надо бы по этому поводу разъяснительную работу среди меня провести.

[незваный гость]

vpx9000 писал(а):

Можете растолковать вкратце, что такое dx ?

Рискну предположить, что основное Ваше затруднение в том, что Вы пытаетесь понять франмент обозначения. $\frac{{\rm d} y}{{\rm d} x}$ — это одно обозначение, а не отношение ${{\rm d} y}$ и ${{\rm d} x}$. Точно также $\int f(x) {{\rm d} x}$ — это одно обозначение интеграла, а не комбинация обозначений. Говоря формально, производную можно было бы обозначать как $D_x \,y$, или даже $D\,y$ (если не требуется указание аргумента, по которому берётся производная), где $D$ — некоторой оператор дифференцирования.

Использование ${{\rm d} x}$ нотации — это скорее дань историческим корням, монумент отцам–основателям. Как правило, за ним нет высокого смысла.

Добавлено спустя 2 минуты 17 секунд:

AD писал(а):

я вот вроде слышал про дифференциальные формы, про всё такое, гладкая теория

По-моему, они не из этой оперы. То есть, они используют те же обозначения, но говорят о несколько другом. Например, дифференциальные формы плохо увязываются с интегралом Лебега, как я понимаю. А он использует ту же нотацию.

[bot]

AD писал(а):

буква dx под знаком интеграла - абстрактный символ, удобное обозначение.

Угу, после того как Лейбниц ввёл dx под интеграл правило подстановки превратилось в очень простую игру в буковки - настолько простую, что некоторые всерьёз начинают считать эту игру доказательством.
Схожий пример - попробуйте-ка поскладывать или поперемножать числа в римской нотации.

незваный гость писал(а):

Рискну предположить, что основное Ваше затруднение в том, что Вы пытаетесь понять франмент обозначения. $\frac{{\rm d} y}{{\rm d} x}$ — это одно обозначение, а не отношение ${{\rm d} y}$ и ${{\rm d} x}$.

Ну почему же? Это не только обозначение производной (впрочем даже и не обозначение - можно штрихом обойтись), но и отношение дифференциалов двух функций.
Вот $\frac{\partial y}{\partial x}$ - это единый символ и никак не дробь.

Собссно ноги у подстановки растут из теоремы дифференцирования суперпозициии, а символ dx лишь делает правило подстановки удобным в употреблении.

[AD]

незваный гость писал(а):

Например, дифференциальные формы плохо увязываются с интегралом Лебега, как я понимаю.

Вообще, надо сказать, не так плохо.

_________________

vpx9000, извините, что отвлёк народ от обсуждения Ваших вопросов.

vpx9000 писал(а):

Можете растолковать вкратце, что такое dx ? Читаю учебники, врубиться не могу

vpx9000 писал(а):

Хотя не совсем, если не затруднит, можно досконально объяснить данные шаги решения ?

Алексей К. писал(а):

Поверьте, растолковать это вкратце через клавиатуру непросто.

Итак, "$dx$" - стандартное обозначение, часть общего большого такого символа $\int\cdots\,dx$. Если хотите, это скобочки такие. Слева - закорючка, справа - $dx$. Тем не менее, эта скобочка удобна тем, что позволяет легко запомнить некоторые правила (на самом деле хитрые теоремы).

Например, правило замены переменной: Если $y$ - монотонная и достаточно гладкая функция от $x$, и функция $f$ тоже достаточно хорошая${}^1)$ , то можно писать так:

$$\int f(y(x))y'(x)\,dx=\int f(y(x))\,dy(x)=\int f(y)\,dy$$

.

${}^1)$что верно во всех учебных задачах; если хотите точную формулировку, то посмотрите в книжках

В первой выкладке мы как бы пользуемся правилом $y'(x)=\frac{dy(x)}{dx}$, откуда $y'(x)\,dx=dy(x)$. Хотя нет такого правила, это всего лишь обозначения так удачно сложились. Теорема утверждает лишь равенство правой и левой частей, а то, что в серединке - это чтобы легче было запомнить.

В вашем случае $y(x)=x^5+7$, и поэтому $dy(x)=(x^5+7)'\,dx=5x^4\,dx$ - как раз то, что написано в числителе, а $f(y)=1/y$. Вот вы сделали такую замену, получили интеграл

$$\int\frac{dy}{5y}$$

,
вспомнили, что он равен $\frac15\ln|y|+C$, и дальше надо вспомнить, чему равно $y$, и это и будет ответ.

[bot]

bot этого не писал(а):

Например, дифференциальные формы плохо увязываются с интегралом Лебега, как я понимаю.

[vpx9000]

Впринципе с dx я разобрался за сегоднящний день. Спасибо всем, кто отписался.
Помоги пожалуйста взять вот этот интеграл

∫dx/x*(x^2+1)^1/2

ПС. Сори, не могу разобраться как вашими формулами пользоваться ^^

[Алексей К.]

vpx9000 писал(а):

∫dx/x*(x^2+1)^1/2
Сори, не могу разобраться как вашими формулами пользоваться ^^

Нашими формулами пользоваться так:

для дроби --- \frac{верх}{низ}
интеграл --- \int
степень --- x^2
но         --- x^{более сложный показатель}
и всё окружить долларами --- $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$
или  $$ ...  $$

Получается $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$
или

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} $$

Чудится мне подстановка $x=\sinh(t)$.

Пардон, не заметил, что у Вас на самом деле

$$ \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}} $$

.
Но подстановку пока не отменяю.