Интегрирование подстановкой (+ дискуссия о дифференциалах)

[Capella]

Алексей К.

по моему это не совсем тот интеграл (тот интеграл, который привели Вы - вообще говоря табличный). А вот, который спрашивается:

$$\int \frac {dx} {x \sqrt{x^2 + 1}}$$

Этот интеграл наверняка из Демидовича со стандартной подстановкой $x = \frac 1 t$

PS Вы уже и сами исправили.

[AD]

bot писал(а):

bot этого не писал(а):

Например, дифференциальные формы плохо увязываются с интегралом Лебега, как я понимаю.

Приношу извинения, исправил.

[vpx9000]

Capella писал(а):

Алексей К.

по моему это не совсем тот интеграл (тот интеграл, который привели Вы - вообще говоря табличный). А вот, который спрашивается:

$$\int \frac {dx} {x \sqrt{x^2 + 1}}$$

Этот интеграл наверняка из Демидовича со стандартной подстановкой $x = \frac 1 t$

PS Вы уже и сами исправили.

спасибо за помощь, но не могли бы вы более подробно расписать. Тяжко мне это дается...
Вот например, расскажи логику, которая приводит к тому, что подставить нужно именно то, что вы указали...

[AD]

vpx9000 писал(а):

Вот например, расскажи логику, которая приводит к тому, что подставить нужно именно то, что вы указали...

Логики нет. Есть опыт. Для этого вам задачки и дают.

Со степенными функциями штука такая: у неё производная - на одну степень меньше. Так что если есть страшное выражение от $x^n$ и помимо него есть только множитель $x^{n-1}$, то возникает естественное желание сделать замену $y=x^n$, $dy=nx^{n-1}\,dx$, и всё сильно упростится. А в вашем примере страшное выражение зависит от $x^{-n}=1/x^n$, то есть все равно в конечном счёте от $x^n$.
P.S. если вы еще не поняли, у нас n=2.

[Алексей К.]

На самом деле я тоже учусь (вспоминаю давно забытые штуки... т.е. интегралы я никогда не забуду , а то, как это делается в контрольных, --- детали подзабыл: например, помню не все табличные интегралы. но табличку на днях в стол положу, рядом с табличкой Менделеева от Capella

Моя логика может быть далеко не лучшей, и --- в данном случае --- основана на неком умении работать с гиперболическими функциями: вкратце --- этой подстановкой я избавляюсь от радикала. Подробнее смогу ответить только вечером, но за это время Вам подскажут более опытные в студенческих проблемах товарищи. А я поучусь, повспоминаю...

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

В вашем случае $y(x)=x^5+7$, и поэтому $dy(x)=(x^5+7)'\,dx=x^4\,dx$ - как раз то, что написано в числителе...

А разве не так: $dy(x) = 5x^4\,dx$?

[AD]

Да-да-да, тоже исправил.

[незваный гость]

AD писал(а):

Вообще, надо сказать, не так плохо. Rolling Eyes

Вы доказали, что я не понимаю Меня спасает от ритуального самоубийства лишь то, что это всё же относительно новые результаты и теории.

bot писал(а):

Это не только обозначение производной (впрочем даже и не обозначение - можно штрихом обойтись), но и отношение дифференциалов двух функций.

Можно, конечно, рассматривать и так. Но, боюсь, обычный вводный курс матана этого не делает. Я, по крайней мере, не помню дифференциалов на первом курсе.

[Dan B-Yallay]

AD писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

По определению диффенциала функции

$$ y = f(x) $$

Везёт вам ... я вот вроде слышал про дифференциальные формы, про всё такое, гладкая теория, а всё равно для меня теоремы о замене переменной и интегрировании по частям - скорее случайные совпадения, чем "по определению дифференциала", а буква dx под знаком интеграла - абстрактный символ, удобное обозначение. Надо бы по этому поводу разъяснительную работу среди меня провести.

В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов
Математический Анализ
Издательство М. "Наука" 1979

Стр. 212-213 формулы (5.11) и (5.12)

Просвящайтесь на здоровье

[bot]

незваный гость писал(а):

bot писал(а):

Это не только обозначение производной (впрочем даже и не обозначение - можно штрихом обойтись), но и отношение дифференциалов двух функций.

Можно, конечно, рассматривать и так. Но, боюсь, обычный вводный курс матана этого не делает. Я, по крайней мере, не помню дифференциалов на первом курсе.

Угу, не делает - не знаю почему, традиция, наверное. В своё время я чуть было не поплатился бананом на экзамене, когда в самом начале ответа заявил, что $\frac{df(x_0)}{dx}$ - это дробь. Пришлось уговаривать экзаменатора послушать дальше. Мучил он меня после этого до 5-ти (зашёл я в 9) и выгнал на нерешённой задаче - дома, сказал, подумай. До следующего экзамена я зачётку не открывал и не знал, что он мне 5 поставил уже после 2-3 решённых задач, а дальше уже просто прикалывался.

[незваный гость]

bot писал(а):

Угу, не делает - не знаю почему, традиция, наверное

Мне кажется, это больше, чем традиция. Понадобится определить дифференциальную форму, ввести операции над ними (а иначе мы не можем рассматривать как дробь). После чего опять-таки обнаружится, что ${\rm d} x$ — это символ в обозначении дифференциальной формы. То есть, мы мало что выгадаем методически. Плюс надо очень аккуратно всё определять, чтобы избежать порочного круга. Я, впрочем, далёк от того, чтобы утверждать невозможность этого. Но будет ли это проще? Не знаю. Я сторонник того, чтобы постепенно наращивать сложность и абстрактность теории. Можно начинать строить матан на топологическом пространстве (Рудин), а можно построить классическую теорию (Фихтенгольц), и продемонстрировать, как она обобщается в различных направлениях. Подозреваю, что второй путь будет понятнее большинству. Хотя, не спорю, он требует больше времени.

Но может, мне это кажется. Хорошо, что мне не приходится учить. И для меня, и для студентов.

[bot]

Да не возникает здесь порочного круга. Просто сначала вводим понятия дифференцируемости и дифференциала функции (пригодится далее и для функции многих переменных), как главную линейную часть приращения. Сразу на халяву получаем непрерывность дифференцируемой функции. Тут же интерпретируем это геометрически, определяя понятие касательной, минуя традиционное не очень внятное её определение как "предельное положение секущей". Символ $dx$ интерпретируем как дифференциал тождественной функции и на халяву получаем равенство $dx=\Delta x$, в силу чего дифференциал получаем в виде $df(x_0)=cdx$, остаётся константу $c$ объявить производным числом функции $f$ в точке $x_0$ и обозначить $c=f'(x_0)$. Доказываем равносильность существования производной и дифференцируемости. Всё компактненько - меньше, чем на лекцию с примерами.
Над методикой изложения дифференциальных форм не думал - не приходилось на мехмате матан читать, я ведь алгеброид.

[vpx9000]

Имеется определенный интеграл, решается путем замены переменной.
Значит определяем замену, определяем новые границы интегрирования, далее подставляем в интеграл и решаем. После решения получается ответ с новой переменной, а значит и с новыми границами. С этого момента можно пользоваться формуло Ньютона-Лейбница использую новые границы интегрирования или нужно вначале сделать обратную замену ?

[Someone]

vpx9000 писал(а):

... получается ответ с новой переменной, а значит и с новыми границами. С этого момента можно пользоваться формуло Ньютона-Лейбница использую новые границы интегрирования или нужно вначале сделать обратную замену ?

Не нужно Раз новые пределы вычислены, можно их подставлять.

[Алексей К.]

vpx9000 писал(а):

Имеется определенный интеграл, решается путем замены переменной.

Обратная замена Вам понадобится в случае НЕопределённого интеграла.