Задача о подобии треугольников

[Alexandr K]

Точки M, N и Р лежат соответственно на сторонах AB, BC и СА треугольника ABC, проичём MN||AC, NP||AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если AB=10см, АС=15см, PN:MN=2:3.
Угол АВС равен углу МВN и угол BMN равен BAC (AB секущая прямых MN и AC) => треугольники ABC и MBN подобны. А вот дальше как решать не понятно.

[ewert]

Alexandr K в сообщении #1216716 писал(а):

если AB=10см, АС=15см, PN:MN=2:3

, то это, очевидно, средние линии. А так надо было бы просто составить пропорцию, исходя из подобия треугольников.

[Alexandr K]

Цитата:

это, очевидно, средние линии.

Ничуть не очевидно.

Цитата:

А так надо было бы просто составить пропорцию

Но как её составить зная AB, но не зная MB? Зная АС, но не зная MN?

[ewert]

Alexandr K в сообщении #1216719 писал(а):

Ничуть не очевидно.

Очевидно, т.к. оба соотношения -- два к трём.

Alexandr K в сообщении #1216719 писал(а):

Но как её составить зная AB, но не зная MB? Зная АС, но не зная MN?

$AP=MN$ и т.д.

[DeBill]

Alexandr K в сообщении #1216719 писал(а):

Ничуть не очевидно.

Ну, их можно угадать... Типа, если это - средние, то будет нужное отношение. Если же точку $N$ сдвинуть с середины, то , типа, числитель вырастет, знаменатель уменьшится, и дробь будет не две трети...
А если честно делать: ну, обозначьте $BN=a,NC=b$, и из подобных , выразите $MN, NP$ через $a,b$. Зная их отношение, найдете $a:b$; этого достаточно для нахождения всех отрезков....

[ewert]

DeBill в сообщении #1216809 писал(а):

Ну, их можно угадать... Типа, если это - средние, то будет нужное отношение.

Угадать, конечно. Но не так. А просто обратить внимание на то, что маленький внутренний треугольничек откровенно подобен большому. А это возможно только в одном случае.

[Батороев]

Alexandr K в сообщении #1216716 писал(а):

треугольники ABC и MBN подобны. А вот дальше как решать не понятно.

Выразите $BM$ и $PN$ в долях от $MN$ и сравните их между собой.

[Skeptic]

Alexandr K в сообщении #1216716 писал(а):

треугольники ABC и MBN подобны. А вот дальше как решать не понятно.

Докажите равенство всех малых треугольников.

[Alexandr K]

Получается пропорция $\frac{AB-BM}{AC-PC}$=$\frac{2}{3}$ и как её решить?

[BVR]

Обозначьте $MN$ через $x$ и выразите $MB$. Тогда $\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MN}$ даст нужное уравнение.

[Skeptic]

Alexandr K
Соедините точки $M$ и $P$. Получите четыре равных треугольника.

[Батороев]

Alexandr K в сообщении #1217786 писал(а):

Получается пропорция $\frac{AB-BM}{AC-PC}$=$\frac{2}{3}$ и как её решить?

Исходя из полученного Вами подобия треугольников и условия задачи, можно записать соотношения: $\dfrac{BM}{MN}$ и $\dfrac{PN}{MN}$, и сравнить их.

[Alexandr K]

Цитата:

Соедините точки $M$ и $P$. Получите четыре равных треугольника.

Skeptic, а Вы равенство этих треугольников доказать можете?

Цитата:

Исходя из полученного Вами подобия треугольников и условия задачи, можно записать соотношения: $\dfrac{BM}{MN}$ и $\dfrac{PN}{MN}$, и сравнить их.

Батороев, получается BM=PN . Как это доказать?

[Skeptic]

Alexandr K в сообщении #1218239 писал(а):

Skeptic, а Вы равенство этих треугольников доказать можете?

$AMNP$ - параллелограмм по построению. Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

[Alexandr K]

Skeptic, а треугольники MBN и PNC?