Улучшено (?) решение Эрдёша по остроугольным треугольникам

[case]

Извините, что встреваю.

Тривиальное геометрическое наблюдение: каждая пара точек A, B порождает ограничение для всех остальных - все прочие точки должны лежать между двумя плоскостями/гиперплоскостями, проходящими через A и B соответственно, причем AB является нормалью к ним обеим (пересечение двух полупространств). Но помимо этого все прочие точки должны лежать за пределами сферы диаметра AB с центром в середине AB - иначе добавляемая точка будет образовывать тупой угол.
В общем, 2 гиперплоскости минус гиперсфера, зажатая между ними. Пересечение множеств такого рода явно будет нетривиальным.

[grizzly]

Есть хорошие новости по этой задаче. Опубликовано доказательство формулы $|S_d|=2^{d-1}+1$ как оценки снизу. Эту часть проблемы можно закрыть -- в основании степени достигнут максимум, а точность подбора коэффициентов (оценка сверху) будет намного более сложной задачей, я думаю.

В работе есть ссылка на наш форум (на полученные в этой теме примеры). В построении этих примеров мне помогли многие люди: мои друзья в программировании, профессиональные математики в личных коммуникациях, а также все, кто прямо или косвенно участвовал в этой теме. Без всей этой поддержки я, вполне вероятно, забросил бы задачу до получения результата. Я предпочёл своё участие в статье ограничить ссылкой на форум, а благодарность помогавшим высказать здесь.

[Sender]

grizzly, поздравляю. Поистине блестящая математическая интуиция.

[Geen]

grizzly в сообщении #1247154 писал(а):

Есть хорошие новости по этой задаче.

Поздравляю!

Хотелось бы, конечно, "симметричного" решения... но, главное, идея оказалась правильной

[Ktina]

Заметка о том, как «Посетители форума улучшили оценку Эрдёша»:
https://nplus1.ru/news/2017/09/13/erdos-forum

[grizzly]

Мне подсказали, что вопрос об остроугольных множествах не так давно поднимался на Math.SE. Там автор вопроса интересовался наименьшей гиперкубической целочисленной решёткой, в которую можно вместить остроугольное множество в соответствующей размерности.

Мне пока известен оптимальный результат для 8 точек в 4D. Мои текущие результаты для 4D-9 точек и 5D-17 точек далеки от оптимальных, но раз других никто не предлагает, я их тоже выложу (только подпилю ещё хоть немного).

PS. Спасибо всем за поздравления.

[Andrey A]

grizzly, присоединяюсь. Мои поздравления!

[Ktina]

grizzly
Разумеется, поздравляю и желаю и впредь совершать научные открытия!
А также желаю крепкого здоровья и изобретения тирьямпампаций!

[heptagon]

Да уж, ну и дела.. Не знаю, уважаемый Grizzly, с чем Вас тут все подравляют, - я на Вашем месте был бы очень расстроен (и зол). Скажите, могу ли я попросить Вас уточнить, предлагали ли эти Gerencser и Harangi Вам стать соавтором своей статьи или просто опубликовали Ваш результат (я о размерностях 4 и 5) и делают вид, что все нормально?

[grizzly]

heptagon
О чём Вы?! Конечно же, мне предложили соавтороство. Выше я недвусмысленно дал понять, что решение остаться за кадром было только моим. Более того, это я попросил сослаться на форум и благодарен, что мне пошли навстречу: не уверен, что для авторов это было простым решением.
(Просьба не развивать здесь дальше эту тему.)

[heptagon]

Grizzly, спасибо за Ваш ответ! Я с большим уважением отношусь к Вашему решению отказаться от соавторства, но, признаюсь, я слегка этим решением шокирован. Ну даже если анонимность для Вас важнее блестящего результата (каковых в жизни каждого математика бывает $O(1)$ или того меньше) и публикации в журнале очень высокого уровня (впрочем, я допускаю, что Вы профессор с 100+ публикаций в журналах такого сорта, и для Вас это не так важно), ну выступили бы как автор под псевдонимом - например, Grizzly Dxdy, - ведь иначе список авторов статьи далеко не полон :)

(Grizzly, пожалуйста, извините меня)

Пожалуйста, простите меня, если мое сообщение содержало обсуждение тех вопросов, которые Вы обсуждать не хотели, или выглядело как попытка дать Вам какой-то совет, или просто если его тон был слишком резким.

[grizzly]

В фб Арсения Акопяна (ссылка на него была в тех новостях с N+1) я узнал, что эта задача тесно связана с другими задачами комбинаторной геометрии, которые касаются различных свойств выпуклых многогранников.

по поводу новой конструкции ОМ там писал(а):

Alexandr Polyanskii заметил, что этот пример заодно улучшает конструкцию Барвинка-Ли-Новик строго антиподальных множеств (arxiv:1203.6867).

В двух словах речь идёт вот о чём (надеюсь, я всё правильно понял).

В упомянутой статье рассматривается вопрос об антиподальных множествах (АМ) максимальной мощности в $\mathbb R^d$. Я не буду вдаваться в детали определений, скажу только, что любое остроугольное множество (ОМ) является по совместительству и АМ. Но не наоборот. Поэтому для АМ были известны более сильные оценки снизу, чем для ОМ (см. аннотацию к упомянутой в цитате статье). Теперь эти оценки сравнялись. Верхняя асимптотическая граница (я имею в виду основание степени) для АМ совпадает с ОМ -- $2^d$. Больше я по этому вопросу сказать ничего не могу -- глубже не копал.

[Soul Friend]

профукал эту новость, поздравляю. Вообще, уважаю ваши труды на форуме.

[grizzly]

grizzly в сообщении #1247931 писал(а):

В фб Арсения Акопяна (ссылка на него была в тех новостях с N+1) я узнал, что эта задача тесно связана с другими задачами комбинаторной геометрии, которые касаются различных свойств выпуклых многогранников.

Действительно, так и оказалось. Статья венгров помогла появиться новой работе, в которой тот результат по ОМ был даже чуточку улучшен (в другой задаче, не в этой, конечно). Моя роль на этот раз была совсем скромной -- я только не поленился поделиться информацией, но даже за это удосужился попасть в Acknowledgements :)
(По своей старой традиции попросил не поминать моего имени, а вместо этого сослаться на наш форум. Благодарен автору за согласие.)

математик Арсений Акопян в фб писал(а):

Чего тут говорить, смачно школьник Дмитрий Захаров распечатал задачу

[grizzly]

Я упустил сказать одну очень важную вещь по поводу всей этой истории. Ещё 2 года тому назад у меня были близкие к нулю навыки и интуиция в вопросах выпуклых многогранников. Но в прошлом году прошёл Математический марафон по этой теме, я пролистал много литературы и набил руку / интуицию. Без той подготовки моих примеров в этой теме не могло бы появиться. Остальное -- вопрос везения. Я выражаю особую благодарность автору задач и ведущему марафона VAL.

(Лучше поздно, чем никогда :)