Собств. знач. и вект. тензора диэлектрической проницаемости

[StaticZero]

Пусть есть анизотропная среда такая, что $\varepsilon = \tilde{\varepsilon}$ (тензор), а $\mu$ — константа. Положим, что свободных зарядов нет и свободных токов нет. Напишем материальные уравнения и уравнения Максвелла

$$ \begin{cases} \operatorname{rot} \mathbf H = \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t}, \\ \\ \operatorname{rot} \mathbf E = - \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf B}{\partial t}, \\ \\ \mathbf B = \mu \mathbf H, \qquad \mathbf D = \tilde{\varepsilon} \mathbf E. \end{cases} $$

Теперь найдём

$$ \operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf E = -\Delta \mathbf E = - \dfrac{\mu}{c} \dfrac{\partial}{\partial t} \left( \dfrac{1}{c} \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t}\right) = - \dfrac{\mu \tilde{\varepsilon}}{c^2} \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}. $$

Положим $q = (\mathbf r \cdot \mathbf s) - vt$, где $v$ — некая постоянная, а $\mathbf s$ — единичный постоянный вектор. Тогда $\dfrac{\partial}{\partial t} = - v \dfrac{\partial}{\partial q}$, $\dfrac{\partial}{\partial x} = s_x \dfrac{\partial}{\partial q}$, для остальных двух координат подобно. Имеем

$$ \Delta \mathbf E = \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial q^2}, \qquad \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} = v^2 \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial q^2}, $$

и у меня получается

$$ \Delta \mathbf E = \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial q^2} = \dfrac{\mu v^2}{c^2} \tilde{\varepsilon} \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial q^2}, $$

или если положить $\mathbf x = \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial q^2}$, $\lambda = \dfrac{c^2}{\mu v^2}$, это равенство примет вид

$$ \tilde{\varepsilon} \mathbf x = \lambda \mathbf x. $$

Тензор диэлектрической проницаемости симметричный, значит, все его собственные значения вещественны. Каждому собственному значению $\lambda_k$ соответствует собственный вектор $\mathbf e_k$. Уравнение удовлетворяется тогда в следующих случаях: либо $\mathbf x = \mathbf 0$ (если $\lambda$ абы какое), либо $\mathbf x = \mathbf e_k$ (если $\lambda$ — $k$-ое собственное значение).

В первом варианте приходим к тому, что вторая производная по $q$ от электрического вектора нуль, то есть, поле имеет вид

$$ \mathbf E_0 = \begin{pmatrix} a_x q + b_x \\ a_y q + b_y \\ a_z q + b_z, \end{pmatrix} $$

во втором случае вид электрического поля фиксирован (вторая производная электрического вектора равна собственному вектору тензора $\tilde{\varepsilon}$).

Какой физический смысл имеют собственные векторы и собственные значения тензора $\tilde{\varepsilon}$? Я пытался придумать что-то, но получилось неубедительно и только в главных диэлектрических осях. Или это всё, написанное выше, смысла не имеет?


P. S. Когда рассматривалась изотропная среда, мы писали уравнение

$$ \dfrac{\varepsilon \mu}{c^2} \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \Delta \mathbf E = 0, $$

или если выразить через $q$

$$ \left(\dfrac{\varepsilon \mu v^2}{c^2} - 1\right) \dfrac{\partial^2 \mathbf E}{\partial q^2} = 0, $$

тогда получалось, что либо вторая производная поля по $q$ нуль, что приводит к полю типа $\mathbf E_0$, либо при $v = \dfrac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}}$ поле любое, то есть при таком $v$ может существовать электрический импульс любого вида, зависящий только от $q$. Тогда поле $\mathbf E_0$ отбрасывалось как которое не может в реальности существовать, если $a_x$, $a_y$ или $a_z$ не равны нулю вместе, и отбрасывалось постоянное поле, где $b_x$, $b_y$, $b_z$ не равны нулю (или кто-то из них).

Верно ли я понимаю, что здесь идея та же самая, только скорости распространения импульсов задаются как раз собственными значениями $\tilde{\varepsilon}$?

[Metford]

Не специалист по оптике, но, насколько мне помнится, интересны не столько собственные значения тензора диэлектрической проницаемости, сколько их (не)равенство между собой. Если они все разные - кристалл двухосный, если два из них между собой совпадают - кристалл одноосный, все три одинаковых - изотропная среда. В первых двух случаях вылезает анизотропия в полный рост с вещами типа двойного лучепреломления.

По этому поводу нужно читать "Оптику анизотропных сред" Ф.И. Фёдорова. Он там, кстати, особо отмечает, что приводит помимо прочего изложение, не привязанное к определённой системе координат. Если так, то это уже говорит, что не так уж нужно в конце концов приводить всё к главным осям. Особенно из-за того, что эти самые главные оси у тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости обычно разные.

[StaticZero]

Metford в сообщении #1214274 писал(а):

Особенно из-за того, что эти самые главные оси у тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости обычно разные.

А если $\mu$ будет тензором, всё ещё можно получать разные результаты типа тех, что описаны у Борна и Вольфа, например? У меня всё дело останавливается на сокращённых уравнениях Максвелла, дальше буксую.

-- 05.05.2017, 15:43 --

Metford в сообщении #1214274 писал(а):

"Оптику анизотропных сред" Ф.И. Фёдорова

Введение многообещающее. Пойду почитаю.

[Metford]

StaticZero в сообщении #1214276 писал(а):

А если $\mu$ будет тензором, всё ещё можно получать разные результаты типа тех, что описаны у Борна и Вольфа, например?

Опять же по памяти говорю, поэтому лучше всё-таки смотреть у Фёдорова. По-моему с магнитной проницаемостью сложнее. Сложнее в том смысле, что есть случаи, когда можно пренебречь магнитными свойствами среды, учитывая диэлектрические. Но наоборот нельзя никогда. А как только Вы начинаете учитывать и то, и другое, сразу приходится считаться с тем, что обе проницаемости тензорами задаются, и их одновременно диагонализовать, скорее всего, нельзя.

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1214274 писал(а):

Если они все разные - кристалл двухосный,

трёхосный

Математическая теория хорошо изложена в книге Р.Курант, "Уравнения с частными производными"; там также $\mu$ скаляр, a $\varepsilon$ тензор. Глава VII, § 3а

StaticZero в сообщении #1214276 писал(а):

А если $\mu$ будет тензором, всё ещё можно получать разные результаты типа тех, что описаны у Борна и Вольфа, например?

Надо написать и посмотреть уравнение характеристик: это уравнение описывает поверхность в трехмерном пространстве, и описывается полиномом 4й степени от трех независимых переменных $H(p_1,p_2,p_3)=1$, четным по совокупности. Достаточно понятно, что если $\mu$ и $\varepsilon$ перестановочны, т.е. можно одновременно привести к главным осям, то результат будет такой же: полином будет чётным по каждой переменной. А в общем случае--не видел. Считайте. Mathematica вам в помощь.

[Metford]

Red_Herring в сообщении #1214284 писал(а):

трёхосный

Ландау такого не говорил... Том VIII, глава XI, параграф 99, ФМЛ 2003.
Речь же не об эллипсоиде.

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1214286 писал(а):

Ландау такого не говорил... Том VIII, глава XI, параграф 99, ФМЛ 2003.

Действительно: там возникают две оптических оси (хотя три оси для $\varepsilon $)

[amon]

IMHO, ответ проще всего получается, если сделать преобразование Фурье уравнений Максвелла. Получится система однородных алгебраических уравнений и условие "определитель равен нулю" даст искомое. К стати, магнитную проницаемость можно положить единицей навсегда. Заплатить за это придется тем, что диэлектрическая проницаемость станет тензором даже в однородной и изотропной среде.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1214392 писал(а):

Получится система однородных алгебраических уравнений и условие "определитель равен нулю" даст искомое. К стати, магнитную проницаемость можно положить единицей навсегда. Заплатить за это придется тем, что диэлектрическая проницаемость станет тензором даже в однородной и изотропной среде.

Разумеется, определитель равен нулю, я даже скажу, что при $\tau=1$ мы получаем поверхность $P_4(p_1,p_2,p_3) +Q_2(p_1,p_2,p_3)=1$ с двумя однородными полиномами степеней 4 и 2. Но вот геометрия этой поверхности играет важную роль.

Кстати, "магнитную проницаемость можно положить единицей навсегда" -- почему? Почем всё можно перекачать на $\varepsilon$?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #1214271 писал(а):

Какой физический смысл имеют собственные векторы и собственные значения тензора $\tilde{\varepsilon}$?

Никакого. Физический смысл имеют зависимости, обращающие в нуль определитель матрицы

$$L_{\alpha\beta}=k_\alpha k_\beta-k^2\delta_{\alpha\beta}+\dfrac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_{\alpha\beta},$$

они дают закон дисперсии. А собственные векторы, соответствующие этим функциям - поляризацию волн, могущих распространяться в среде.

amon в сообщении #1214392 писал(а):

К стати, магнитную проницаемость можно положить единицей навсегда. Заплатить за это придется тем, что диэлектрическая проницаемость станет тензором даже в однородной и изотропной среде.

При единичной $\mu$ в однородной и изотропной среде тензор диэлектрической проницаемости пропорционален единичному тензору $\delta_{\alpha\beta}$. Если же есть пространственная дисперсия, $\mu$ неизбежно отлично от единицы.

-- 06.05.2017, 15:58 --

Выше подразумевается Фурье-преобразованный тензор проницаемости, то есть $\varepsilon_{\alpha\beta}(\omega,\mathbf{k})$.

[amon]

DimaM в сообщении #1214448 писал(а):

При единичной $\mu$ в однородной и изотропной среде тензор диэлектрической проницаемости пропорционален единичному тензору $\delta_{\alpha\beta}$.

Кроме $\delta_{\alpha\beta}$ есть еще один "сферически симметричный" тензор $\frac{k_\alpha k_\beta}{k^2}.$ Можно ввести две "скалярные" проницаемости - продольную и поперечную. Стандартные $\varepsilon$ и $\mu$ через них выразятся. Подробности - у Топтыгина в обзоре в УФН, и, по-моему, с "Современной электродинамике".

[DimaM]

amon в сообщении #1214460 писал(а):

Кроме $\delta_{\alpha\beta}$ есть еще один "сферически симметричный" тензор $\frac{k_\alpha k_\beta}{k^2}.$

Это не "сферически-симметричный", а инвариантный относительно поворота вокруг $\mathbf{k}$. В этом случае присутствует пространственная дисперсия.

Цитата:

Можно ввести две "скалярные" проницаемости - продольную и поперечную. Стандартные $\varepsilon$ и $\mu$ через них выразятся.

При этом $\mu$ будет отлично от единицы, а я писал про случай $\mu=1$.

[amon]

DimaM в сообщении #1214467 писал(а):

При этом $\mu$ будет отлично от единицы, а я писал про случай $\mu=1$.

Не-а. Вводится другое определение $\mathcal{D}$ и $H$:

$$ \begin{align} \mathcal{D}&=E+4\pi\int\limits_{-\infty}^{t}j\;dt\\ H&=B \end{align} $$

Получается $\mathcal{D}_\alpha=\epsilon_{\alpha\beta}E_\beta$ При этом $\epsilon_{\alpha\beta}=\varepsilon_\parallel\frac{k_\alpha k_\beta}{k^2}+\varepsilon_\perp\left(\delta_{\alpha\beta}-\frac{k_\alpha k_\beta}{k^2}\right).$ Получается связь "старых" $D=\varepsilon E,\quad B=\mu H$ с новыми

$$ \begin{align} \varepsilon&=\varepsilon_\parallel\\ \frac{1}{\mu}&=1+\left(\frac{\omega}{ck}\right)^2(\varepsilon_\parallel-\varepsilon_\perp) \end{align} $$

Таким представлением пользуется Ландау в Электродинамике сплошных сред, правда, опуская подробности. Вообще, существует много способов ввести поля в среде, и $D=\varepsilon E,\quad B=\mu H$ - только один из них, и не всегда самый удобный.

[amon]

Я соврал. Обзор в УФН не Топтыгина, а Виноградова.

[StaticZero]

DimaM в сообщении #1214448 писал(а):

Физический смысл имеют зависимости, обращающие в нуль определитель матрицы

$$L_{\alpha\beta}=k_\alpha k_\beta-k^2\delta_{\alpha\beta}+\dfrac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_{\alpha\beta},$$

Ой, а что это? я таких штук раньше не встречал.

amon в сообщении #1214392 писал(а):

преобразование Фурье уравнений Максвелла.

Прошу прощения за глупый вопрос. Знак интегрального преобразования перестановочным с ротором (или вообще с векторным произведением) остаётся или будут нюансы?