Чьи часы отстают?

[Boikiy]

Объясните, пожалуйста, (кто сможет) какое время будут показывать секундомеры A и B?
Движущийся равномерно и прямолинейно поезд везёт наблюдателя с секундомером в руках. В момент, когда наблюдатель поравняется со столбом, он запускает свой секундомер, а прожектор на столбе в тот же самый момент времени излучает вспышку света. На расстоянии $L$ от столба, рядом с железнодорожными путями, расположен приёмник света, и поэтому, когда через $t=\frac{L}{C}$ секунд свет достигнет приёмника, запускается неподвижный секундомер с предустановленным на нём временем $t=\frac{L}{C}$. И этот секундомер начинает считать время до встречи с поездом. Таким образом, секундомер в поезде измеряет время в движущейся инерциальной системе, а неподвижный секундомер, в неподвижной инерциальной системе. Старт измерений мы синхронизировали с помощью света, а в момент финиша оба секундомера будут находиться друг напротив друга, и поэтому останов секундомеров будет синхронным или одновременным. Таким образом мы с помощью неподвижного и движущегося секундомеров измеряем одно и то же событие – продолжительность поездки от столба до приёмника света.
Так как остановленные секундомеры не могут изменить своих показаний, то ни останов поезда, ни смена направления движения на показания секундомера в поезде уже не повлияет, и мы можем спокойно доставить его к неподвижному секундомеру, и сравнить показания секундомеров между собой.
По теории оба наблюдателя РАВНОПРАВНЫ и каждый из них имеет право считать, что именно его собственные часы (секундомер) идут точно, а вот секундомер у соседа замедляется. Поэтому если секундомер у наблюдателя А для самого наблюдателя A показывает 5 часов, то этот же самый секундомер, но уже по мнению наблюдателя B должен показывать, например,2 часа, а не 5. И то же самое происходит с секундомером наблюдателя B.
Но когда секундомеры остановлены, они стоят. Поэтому секундомер показывает только одно значение: или 5, или 2.
Как неподвижный секундомер может показывать и 5 и 2 одновременно?
Объективно это невозможно.
Вот я и спрашиваю, какой из возможных вариантов показаний секундомеров А и B правильный:
$t_a>t_b$
$t_a<t_b$
$t_a=t_b$

[arseniiv]

Начертите пространственно-временную диаграмму, если по-другому не получается посчитать.

[DimaM]

Boikiy в сообщении #1213886 писал(а):

Объясните, пожалуйста, (кто сможет) какое время будут показывать секундомеры А и Б?

Вы б написали для порядка, который из них А, а который Б.
В задаче меньшее время покажет секундомер в поезде. Преобразования Лоренца это с легкостью показывают (в отличие от невнятных рассуждений).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[rustot]

Boikiy в сообщении #1213886 писал(а):

По теории оба наблюдателя РАВНОПРАВНЫ и каждый из них имеет право считать, что именно его собственные часы (секундомер) идут точно, а вот секундомер у соседа замедляется

В исо, относительно которой покоится поезд, световой сигнал до приемника добрался за время $\frac{L/\gamma}{c+v}$ и на слишком большую величину $\frac{L}{c}$ часы были выставлены по ошибке. поэтому несмотря на то что шли они потом медленнее, показали они при встрече больше

А вообще рассуждения о том "кто кого считает замедленным" ведут только к путанице, прямой расчет в любой из исо вместо таких рассуждений приводит всегда к однозначному ответу

[Boikiy]

Однако, Вы забыли, что движение не абсолютно, а относительно.
Допустим, что секундомер А находится в движущемся поезде, а секундомер В неподвижен.
Тогда с точки зрения наблюдателя неподвижного относительно неподвижного секундомера В справедливым, как вы правильно заметили, будет следующее отношение показаний секундомеров:

$$t_a<t_b.$$

И пусть секундомеры именно эти значения и показывают. И оба наблюдателя их видят.
Однако, наблюдатель в поезде будет неподвижен относительно секундомера А, а не секундомера В. И секундомер В будет относительно него находится в движении. Следовательно, по мнению наблюдателя в вагоне должен замедлится именно секундомер В. Поэтому он думает, что увидит такие показания секундомеров:

$$t_a>t_b.$$

Но секундомеры остановлены. Они упрямо показывают, что

$$t_a<t_b$$

и своих показаний они не изменяют. И такой результат для наблюдателя в вагоне означает, что время в движущейся относительно него инерциальной системе не замедлилось, а ускорилось.
Итог такой: для неподвижного наблюдателя время в движущейся относительно него инерциальной системе замедляется, а для наблюдателя в движущемся равномерно и прямолинейно вагоне, наоборот, время в движущейся относительно него системе не замедляется, а ускоряется. И такой результат не очень дружит с преобразованиями Лоренца.

И ещё. Мнение наблюдателя в вагоне хоть как-то влияет на показания неподвижных часов? Если да, то вы правы, если нет, то его мнением можно и пренебречь.

[rustot]

Boikiy в сообщении #1214062 писал(а):

и своих показаний они не изменяют. И такой результат для наблюдателя в вагоне означает, что время в движущейся относительно него инерциальной системе не замедлилось, а ускорилось.

Такой результат показывал бы что часы шли быстрее если бы они были одновременно выставлены на одинаковое значение. А если вы выставили одни на 10 в момент когда другие показывали 9 и потом они при встрече показали 20.1 и 20, то большая величина абсолютного значения первых часов не означает что они шли быстрее

[Boikiy]

Показания секундомеров А и В синхронизированы с помощью луча света. Об этом можно прочесть в первом сообщении.

[Cos(x-pi/2)]

Boikiy
Можно сказать, что разные инерциальные системы отсчета равноправны, да, но важно, что эта "равноправность" не означает, будто пространственно-временные координаты одних и тех же событий в них одинаковы.

Преобразования Лоренца как раз необходимы для правильного расчёта 4-координат событий в одной ИСО по 4-координатам этих же событий в другой ИСО. Разговоры о "мнении наблюдателей" без расчёта не помогут.

Расчёт показывает, что если в системе покоя вашего столба с железной дорогой и с приёмником движущийся секундомер А был синхронизирован с неподвижным секундомером В в приёмнике (так что, показания $0$ секундомеров А и В в этой системе отсчёта - события одновременные (этому эквивалентен описанный Вами способ запуска секундомера В)), то в системе покоя А секундомер B показывал $0$ раньше, чем показывал $0$ секундомер A. Поэтому интервал собственного времени между событием $0$ в секундомере B и событием "встреча обоих секундомеров" на мировой линии секундомера В всё равно больше, чем интервал времени на мировой линии секундомера А между его $0$ и "встречей обоих секундомеров", хотя В движется. Это общий результат: интервалы собственного времени на мировых линиях часов между фиксированными событиями вообще не зависят от выбора системы отсчёта.

Стремясь обеспечить равноправие условий в обоих случаях в своих рассуждениях, Вы должны выбрать и новое условие синхронизации А и В, перейдя к системе покоя поезда. Тогда окажется, что если часы синхронизованы так, что показания $ на А и В одновременны в системе покоя поезда с часами А, то при встрече меньшее время покажут движущиеся часы В, а не покоящиеся часы А.

Другими словами: говоря о равноправии всех ИСО, Вы забыли об относительности одновременности, и поэтому пришли к неверным выводам.

На эту ошибку вам выше уже указали.

И воспользуйтесь приведённым выше полезным советом - начертите пространственно-временную диаграмму, если по-другому не получается посчитать интервалы времени в соответствии с преобразованиями Лоренца. (Кстати, на форуме можно найти и готовые диаграммки на эту тему; ведь вопрос о "замедлении времени" на форуме разные дилетанты задавали уже "стопятьсот" раз :-)

[DimaM]

Boikiy в сообщении #1214070 писал(а):

Показания секундомеров А и В синхронизированы с помощью луча света. Об этом можно прочесть в первом сообщении.

В первом сообщении можно прочитать, что синхронизованы показания двух секундомеров на платформе: возле прожектора и на расстоянии $L$. Если между строк написано что-то другое, вам следует указать это явно.

[Boikiy]

«Можно сказать, что разные инерциальные системы отсчета равноправны, да, но важно, что эта "равноправность" не означает, будто пространственно-временные координаты одних и тех же событий в них одинаковы».

Другими словами, когда я вижу рисунок на котором в некоторый момент времени t совпадают оси систем координат К и К’, где К – покоится, а К’ – движется, то я должен понимать, что это тривиальный обман доверчивых студентов и школьников.
Я так не думаю.
Относительность одновременности проявляет себя на больших расстояниях. Для событий, которые случаются в бесконечно малой окрестности точки, она не актуальна. Вот и Сивухин в параграфе 104 на 632 странице в пункте 2 солидарен со мной. А у нас старт происходит именно в окрестности неподвижного фонаря, и финиш происходит в окрестности неподвижного секундомера. Поэтому Ваше замечание не существенно ик рассматриваемому примеру отношения не имеет.

[mihaild]

Я вот не поленился и посчитал (надеюсь это не является "полным решением" ). У нас есть три события: $A$ - встреча у столба, $B$ - доход луча света до приемника, $C$ - подход поезда к приемнику. И две СО: $(x, t)$ - СО путей, $(x^\prime, t^\prime)$ - СО поезда. Для простоты считаем, что расстояние от столба до приемника в СО путей равно $1$, скорость поезда равна $\frac{1}{2}$.
Выписываем координаты в СО путей: $x_A = 0, t_A = 0; x_B = 1, t_B = 1; x_C = 1, t_C = 2$.
Подставляем их в преобразования Лоренца: $x^\prime_A = 0, t^\prime_A = 0; x^\prime_B = \frac{1}{\sqrt{3}}, t^\prime_B = \frac{1}{\sqrt{3}}; x^\prime_C = 0, t^\prime_C = \sqrt{3}$.
При условии, что я нигде не ошибся в арифметике, вопрос - какие из этих чисел вам не нравятся?

[Cos(x-pi/2)]

Boikiy в сообщении #1214091 писал(а):

А у нас старт происходит именно в окрестности неподвижного фонаря, и финиш происходит в окрестности неподвижного секундомера. Поэтому Ваше замечание не существенно ик рассматриваемому примеру отношения не имеет.

Если хотите понять что-либо в задачах, то старайтесь избегать демагогии, и вникайте в аргументы ваших собеседников. Речь у Вас шла о синхронизации часов А и В, когда они находились на большом расстоянии $L$ друг от друга; именно эту величину $L$ Вы использовали для предустановки показаний часов B, а не какие-то "окрестности". В новой системе отсчёта задайте новое условие синхронизации - чтобы обеспечить равноправность "мнений наблюдателей"; тогда и в новой системе отсчёта придёте к выводу о "замедлении времени в движущихся часах". Прежняя синхронизация часов не сохраняется при переходе к рассмотрению событий в новой системе отсчёта (о том и говорит относительность одновременности пространственно удалённых друг от друга событий).

Чтобы всё это стало понятнее, начертите две ПВ-диаграммы (для событий в двух системах отсчёта) в вашей задачке; заодно тем самым продемонстрируете способность понимать. Для удобства подсчетов выберите скорость поезда, например, равной $0.6$ от скорости света - тогда "релятивистские корни" легко вычисляются без всяких калькуляторов.

P.S. Пока я набивал текст, Вам mihaild уже дал хороший численный пример, разберите его подробно.

[rustot]

Boikiy в сообщении #1214070 писал(а):

Показания секундомеров А и В синхронизированы с помощью луча света. Об этом можно прочесть в первом сообщении.

для исо, относительно которой покоится вагон синхронизация произведена с ошибкой, часы выставлены на изначально разные показания

rustot в сообщении #1214043 писал(а):

В исо, относительно которой покоится поезд, световой сигнал до приемника добрался за время $\frac{L/\gamma}{c+v}$ и на слишком большую величину $\frac{L}{c}$ часы были выставлены по ошибке.