Эквивалентность решений задач Коши.

[Oxide]

Всем привет, хочу спросить вот о чем: решая данную задачу Коши, мой ответ не совсем сходится с ответом, который дан преподавателем.
Вот сама Задача:

$xy'=y(\ln y-\ln 2x)$
$y(1)=2e^3$

Ответ, который дан преподавателем:

$y=2xe^{2x+1}$

Ответ, который я получил, решая сам:

$y=2xe^{x+2}$

Могу ли я утверждать, что мой ответ эквивалентен ответу преподавателя или нет? Заранее спасибо.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [mаth]» и видеоролик Как записывать формулы);
.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 01.05.2017, 14:00 --

$y(1)=2\exp^3$
e^3
и аналогично в подобных местах.

Oxide в сообщении #1213414 писал(а):

$xy'=y(lny-ln2x)$

\ln y и далее так же.

Oxide в сообщении #1213414 писал(а):

Могу ли я утверждать, что мой ответ эквивалентен ответу преподавателя или нет?

Очевидно же, что не можете.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Mikhail_K]

Lia в сообщении #1213415 писал(а):

Очевидно же, что не можете.

А если не очевидно, подставьте хотя бы $x=2$ в оба ответа и убедитесь, что эти функции принимают различное значение при таком $x$.
Кстати, чтобы выяснить, какой из двух ответов правильный, подставьте оба ответа в дифференциальное уравнение, и посмотрите, для какого ответа равенство там будет справедливо.
Наконец, если Вы хотите, чтобы кто-то здесь проверил Ваше решение, изложите его целиком.

[Oxide]

Само решение:
$xy'=y(\ln y-\ln 2x)$

Проверил это уравнение на однородсть, подставив перед $x$ и $y$ лямды, которые успешно сократились(прописывать данный шаг нет смысла, это можно сделать устно). Уравнение однородно.
Далее провел замену

$y=tx$, $y'=t'x+x't$, где $x't=t$.

Подставил и упростил, что можно:

$x(t'x+t)=tx(\ln tx-\ln 2x)$

$\frac{t'x}{t}=\ln \frac{t}{2}$

$\frac{dt}{t\ln \frac{t}{2}}=\frac{dx}{x}$

После навесил интегралы и добавил константу в правой части.

$$\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t\ln \frac{t}{2}}=\int\limits_{}^{}\frac{dx}{x}+\mathbb{C}$$

Первый интеграл решал методом занесения по дифференциал $\ln \frac{t}{2}$, второй интеграл табличный.

В конечном итоге получил:

$\ln \ln\frac{t}{2}=\ln x+\mathbb{C}$

Константу занес под логарифм и далее опустил все логарифмы. После выразил $\frac{t}{2}$ из под натурального логарифма:

$\frac{t}{2}=e^{x+\mathbb{C}}$

Отсюда выразил уже t и далее провел обратную замену $t=\frac{y}{x}$, после чего уже выразил непосредственно y.

$y=2xe^{x+\mathbb{C}}$.

После использовал уже условия, которые были даны в самом начале, т.е. подставлял $y=2e^3$ и $x=1$ и искал значение произвольной константы при этих условиях. Отсюда у меня и возникает такой вопрос, что при моем ответе все равно получается $y=2e^3$, если $\mathbb{C}=2$, так же как и получается тоже самое, если $\mathbb{C}=1$, но при условии, что степень у экспоненты $2x+1$, вместо $x+2$. Скорее всего мои рассуждения неверны, но ошибку в решении я найти не смог, потому остается только придумывать подобные теории. Буду благодарен, если укажете на эту самую ошибку.

[Someone]

Oxide в сообщении #1213438 писал(а):

$\frac{t}{2}=e^{x+\mathbb{C}}$

Неверно. Вместо $\mathbb C$ напишите $\ln C$.

[Lia]

Someone в сообщении #1213446 писал(а):

напишите $\ln C$.

В предыдущей строке. И в этом переходе тоже ошибка:

Oxide в сообщении #1213438 писал(а):

$x(t'x+t)=tx(\ln tx-\ln 2x)$
$\frac{t'x}{t}=\ln \frac{t}{2}$

[Someone]

И в переходе

Oxide в сообщении #1213438 писал(а):

$\frac{t'x}{t}=\ln \frac{t}{2}$

$\frac{dt}{t\ln \frac{t}{2}}=\frac{dx}{x}$

теряется решение.