2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 04:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Сначала приношу извинения, что привлекаю внимание к простой задаче.

Есть вот такая система (четыре заряда по вершинам квадрата):
Изображение
Нужно посчитать потенциал её поля далеко от неё (это я так развлекаюсь в свободное время, если что). Сторона квадрата равна $a$. Считаю тензор квадрупольного момента. Для этого предварительно нахожу координаты зарядов: $+q: (0,0,0)$, $-q: (a/2,a/2,\pm a\sqrt{2}/2)$, $+q: (a,a,0)$. Компоненты тензора:
$$D_{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}
 \frac{3}{2}qa^2&\frac{3}{2}qa^2  & 0\\
 \frac{3}{2}qa^2& \frac{3}{2}qa^2 & 0\\
 0&0  & -3qa^2
\end{pmatrix}.$$
Подставляю в формулу квадрупольного члена мультипольного разложения: $\frac{D_{\alpha\beta}x_{\alpha}x_{\beta}}{2r^5}$. Получаю
$$\varphi=\frac{3}{4}qa^2\frac{(x+y)^2-2z^2}{r^5}=\frac{3qa^2}{4r^3}(1+\sin 2\phi\sin^2\theta-3\cos^2\theta).$$
Последнее выражение в сферических координатах. Великие Батыгин и Топтыгин приводят в ответе (смотрел в старом ещё советском издании) выражение
$$\varphi=\frac{qa^2}{4r^3}(3\sin 2\phi\sin^2\theta-3\cos 2\theta-1).$$
Вроде бы к моему оно не приводится. В декартовых координатах почему-то ответ не приведён. Скажите, это я ошибаюсь? Так вроде бы негде... Хотя я могу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 10:58 
Заслуженный участник


23/07/08
8507
Харьков
Выпустим из центра квадрата луч в направлении $\theta=\frac{\pi}2, \phi=-\frac{\pi}4$. Любая точка на этом луче равноудалена от всех зарядов, значит, потенциал на луче строго равен нулю. Соответственно, и формула для поля в дальней зоне должна давать нуль для этого направления. Ваша формула эту проверку проходит, а формула Батыгина-Топтыгина — нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 12:36 
Заслуженный участник


28/12/12
6533
Metford
В Батыгине и Топтыгине (2-е издание, 1970, задача 94) квадруполь расположен в плоскости $xy$, стороны квадрата параллельны осям. Поэтому углы имеют другой смысл. И формула другая
$$\varphi=\dfrac{3qa^2\sin^2\theta\cos\phi\sin\phi}{r^3}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
DimaM
А ещё там есть задача 103 - именно ею я и занимаюсь. Оттуда и рисунок, кстати. Про 94-ю задачу я знаю. Она тривиальна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 13:06 
Заслуженный участник


28/12/12
6533
Metford в сообщении #1212232 писал(а):
А ещё там есть задача 103 - именно ею я и занимаюсь.

Да, что-то я ее не приметил :oops:.
У меня такой же ответ получился, как у вас. К БТ не приводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
DimaM, Вы тогда видели, что там ещё просят получить его из ответа к номеру 94 - но мне как-то не захотелось прямо сразу матрицу поворота конструировать.
В общем, по всей видимости, в задачнике застарелая опечатка, а я считать не разучился. Прямо-таки хочется авторам сообщить :-) Об опечатке, естественно.
DimaM, svv, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Metford в сообщении #1212239 писал(а):
там ещё просят получить его из ответа к номеру 94 - но мне как-то не захотелось прямо сразу матрицу поворота конструировать.

А вот, кстати, оказалось не так уж сложно эту матрицу построить. И ответ снова мой воспроизвёлся. Так что точно в ответах приведено ошибочное выражение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 18:06 
Заслуженный участник


28/12/12
6533
Metford в сообщении #1212311 писал(а):
Так что точно в ответах приведено ошибочное выражение.

Поди, специально, чтоб студент не расслаблялся :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Поле квадруполя
Сообщение24.04.2017, 18:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
DimaM в сообщении #1212312 писал(а):
Поди, специально, чтоб студент не расслаблялся :wink:

Разве что. Я вот специально провёл мини-исследование. В старом издании и новом (от РХД) - ответ один и тот же (неверный). Есть ещё книга Батыгина и Топтыгина "Современная электродинамика". Там эта задача тоже присутствует со всё тем же ответом. Тут уже на стереотипность издания не сослаться.

Кстати, была у меня в своё время мысль сделать задачник, посадить в ответы 0,5% ошибок (мелких - типа коэффициента неправильного) - о чём честно предупредить, чтобы студент не воспринимал ответы как истину в последней инстанции. Особенно довольны будут в типографии: ответы редактор сможет вообще не проверять. Одной ошибкой больше - одной меньше :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, Aer, whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group