|
Здравствуйте, уважаемые математики. Я, к сожалению, не одна из вас, последний раз занималась математикой в школе. Но когда-то я немного увлеклась этой теоремой и стала рассматривать свойства степеней чисел, компьютера и тем более интернета у меня не было, была огромная «простыня» с этими степенями, и я пыталась найти какие-то закономерности. Хочу поделиться наблюдениями, для кубов.
Это выполняется для всех степеней, но показать с другими будет более громоздко.
Если вычитать числа последовательно друг из друга, и потом из полученных чисел опять соответственно вычитать предыдущее, получится интересный результат:
Первая колонка – основание, вторая – куб, третья – первая разность кубов, четвёртая – разность разностей, пятая (где 6) – разность разностей разностей.
1 1
2 8 7
3 27 19 12
4 64 37 18 6
5 125 61 24 6
6 216 91 30 6
7 343 127 36 6
8 512 169 42 6
9 729 217 48 6
10 1000 271 54 6
11 1331 331 60 6
Как видно, в конце концов получается одно и то же число.
Вычитать нужно столько раз, каково значение степени. Для куба, т. е., 3 раза. Но это работает для всех степеней. Число, которое в итоге всё время получается, равно произведению показателя степени на такое число у предыдущей степени. Например, для четвёртой степени нужно вычитать 4 раза и число в конце концов будет 24: число куба 6х4.
Как доказать, не знаю. Это просто наблюдения.
Сегодня решила это записать и увлеклась, добавила ещё закономерностей. Когда есть компьютер и интернет, дело идёт веселее.)
Число 6 вообще очень влияет на систему кубов.
Каждый куб можно также представить в виде 6 умножить на соответствующее «тетраэдрическое» число плюс основание.
Первая колонка – основание, вторая куб, третья – формула с участием «тетраэдрического числа» и 4я само это число.
1 1 6х0+1 0
2 8 6х1+2 1
3 27 6х4+3 4
4 64 6х10+4 10
5 125 6х20+5 20
6 216 6х35+6 35
7 343 6х56+7 56
8 512 6х84+8 84
9 729 6х120+9 120
10 1000 6х165+10 165
11 1331 6х220+11 220
То есть, из формулы этих чисел, формула куба любого числа А это
(А-1)(А-1+1)(А-1+2)+А
то есть А(А-1)(А+1)+А
То есть вообще любой куб – это произведение основания на число, на 1 меньшее и на 1 большее плюс основание.
Ну и наконец при любой разности кубов получается какая-то интересная последовательность.
Разность кубов А и В (допустим, А больше В) можно представить всегда в виде такой формулы:
ЧПх6+(А-В).
ЧП – это число, которое обязательно будет относиться к какой-то последовательности.
Если мы берём соседние кубы, то П – последовательность "треугольных" чисел.
8-1=7=1х6+1
27-8=19=3х6+1
64-27=37=6х6+1
125-64=61=10х6+1
Если взять кубы, основания которых отличаются на 2, П – квадраты.
27-1=26=4х6+2
64-8=56=9х6+2
125-27=98=16х6+2
216-64=152=25х6+2
Если разница основание равна 3, то П – «центрированные треугольные числа»
64-1=63=10х6+3
125-8=117=19х6+3
216-27=189=31х6+3
343-64=279=46х6+3
Разница в 4 – П : 20,34,52,74...
Разница в 5 – П : 35,55,80,110,145
Они закономерны как-то. Но общую закономерность мне не вывести. Скорее всего, то, о чём я написала, уже известно. Буду тогда благодарна за ссылку, где разбираются эти закономерности.
Спасибо за внимание и удачи!
|
22.04.2017, 23:54 