Еще одна длина эллипса от kalin

[Lia]

sergei1961
Замечание за бессодержательное сообщение.

Слово "здесь" лишнее. Оба раза.

[kalin]

Правоту доказываю фактами: при отношениях $\frac ab\ge 3 $ ближе всех к точному значению формула New:



-- 29.04.2017, 07:25 --

[tolstopuz]

Во-первых, вы, видимо, неправильно запрограммировали формулу Абеда. Для $a/b<5{,}9$ она точнее вашей.
$a=3\qquad b=1\qquad 13{,}364893108193874$
$a=5\qquad b=1\qquad 21{,}010044179444062$

Во-вторых, вы выбрали постоянное $b=1$ и меняете $a$, чтобы выпятить тот маленький кусочек, где ваша формула точнее, и раздуть его до бесконечности. Возьмите $a=1$ и меняйте $b$ от $0$ до $1$. Посмотрите, какие графики получатся и на каких диапазонах $b$ какая формула лучше.

[kalin]

tolstopuz, возможно что Абеда неправильно запрограммировал... Просьба к вам: дайте здесь листинг формулы, чтобы мне ее просто скопировать и сделать верный анализ.

[Lia]

kalin в сообщении #1213186 писал(а):

возможно что Абеда неправильно запрограммировал... Просьба к вам: дайте здесь листинг формулы, чтобы мне ее просто скопировать и сделать верный анализ.

Совсем хорошо.
Наберите сами, будьте добры. Однако вопрос - что и откуда Вы до сих пор копировали, - Ваша таблица post1213094.html#p1213094, наверное, на чем-то основана?

И оформляйте формулы по правилам форума, а не выделяя болдом, пожалуйста.

[kalin]

Lia, я набрал, но меня уверяют, что неправильно. Что-то видимо не понимаю. А в правильной записи сам больше всех заинтересован.
Впредь буду писать формулы в LaTex.

[Lia]

kalin
Выложите Ваш код здесь, у людей будет возможность сказать, где именно неправильно. Только и всего.
(для оформления кода над окном ответа - меню "подсветка синтаксиса")

[kalin]

tolstopuz! Спасибо за тщательный контроль!
Нашел небольшую помарку в записи формулы Абеда, и таблицу поправил:



Теперь разберемся, почему так произошло. Укрупненный график



Мы уже анализировали начальный участок от $a=1$ до $a=2$. Многие функции дают приблизительно одну и ту же точность. Различия столь мизерные, что не стоит уделять внимание. Действительно, на отрезке от $2$ до $5.9$ формула Абеда более точна, чем Новая формула.
В принципе формула Абеда явилась рекордсменом в практически значимом интервале $1\le \frac ab \le 5.9$ и ее нужно рекомендовать как лучшую на этом отрезке.
Но вот что происходит дальше:



От $ 5.9$ до $\infty$ уже точность Новой формулы становится на порядок выше точности формулы Абеда. В своей книге так и укажу в рекомендательной части: два интервала значений $\frac ab$ и две лучшие аппроксимации для них.

[g______d]

Скорее всего, при $\frac{a}{b}\ge 6$ лучшей аппроксимацией будет разложение

Red_Herring в сообщении #1212972 писал(а):

по степеням $b/a$, при $0<b\ll a$, что не совсем то же самое, что $1-e\approx b^2/2a^2$. Просто надо с интегралом поаккуратнее в этой точке.

[grizzly]

kalin в сообщении #1212818 писал(а):

Кстати, только что заметил: приближение Кантрелла есть тоже уточнение второй формулы Рамануджана.

Вот это, кстати, очень неплохое наблюдение. В интересном и детальном анализе различных формул, ссылку на которую приводил sergei1961, тоже обращается на это внимание.

В приведенной формуле Кантрелла использован только один параметр оптимизации -- и тот, возможно, подбирался только среди целых чисел, а не в пику эстетике. Я затрудняюсь оценить, какую точность можно было бы получить, варьируя 6-ю оптимизирующими параметрами при удачном математическом (а не только программистском) решении, но думаю, это были бы совсем другие порядки точности.

[kalin]

grizzly в сообщении #1213238 писал(а):

Я затрудняюсь оценить, какую точность можно было бы получить, варьируя 6-ю оптимизирующими параметрами при удачном математическом (а не только программистском) решении, но думаю, это были бы совсем другие порядки точности.

То есть линия New вас не устраивает и желаете ее сделать еще точней?



Я же считаю, что из всех самых лучших аппроксимаций наилучшей выглядит New и следом Кантрелл. Если, конечно, смотреть на задачу в общем ее объеме.

[grizzly]

kalin в сообщении #1213269 писал(а):

То есть линия New вас не устраивает и желаете ее сделать еще точней?

Хм.. Вы непоследовательны в своих эмоциях. Не так давно в этой теме Вы несколько раз отмечали, что сами в высшей степени заинтересованы в более точном решении.

У меня нет какого-то желания (даже права) корректировать лично Ваше чувство прекрасного. Но автору формулы может быть полезно чуть лучше понять, где проходит (пусть размытая) граница между математикой и программированием. (А я надеюсь, что он читает эту тему.) При этом я ничего не имею против проделанной автором работы (в качестве программистского хобби), даже всячески приветствую эту работу и полученные результаты.

[kalin]

grizzly! Если у кого-то есть талант найти более точную формулу для всей области $\frac ab$ и показать сравнительный график с New, - я обеими руками "за". Но кроме слов ничего не вижу. Кантрелла вижу, Abed вижу, а здесь кого-либо на форуме - нет. Критика же совсем мне неинтересна. Интересен график и только график. График Abed на очень малом участке области оказался лучше и я его принял во внимание. Но если честно, - улучшение столь малого уровня и столь частное, что об успехе Abed говорить можно с натяжкой.

-- 30.04.2017, 13:42 --

g______d в сообщении #1213228 писал(а):

Скорее всего, при $\frac{a}{b}\ge 6$ лучшей аппроксимацией будет разложение

Этого для меня мало. Дайте график сопоставления с New и двух формул. Я уже показывал сопоставление с формулой Бесселя (аж 60 членов ряда принял), и все равно это не спасло.

[Lia]

Ну и хорошо. Критика ТС неинтересна, а 5 страниц для рекламы должно быть достаточно.
Вроде уже все соображения были высказаны, дальше не вижу смысла продолжать.

Закрыто.

Если будет что добавить содержательного, обращайтесь в ЛС.