Еще одна длина эллипса от kalin

[grizzly]

kalin в сообщении #1212941 писал(а):

Стремятся аппроксимировать на всей области значений.

Ну а Вы стремитесь работать только в области от 2 до бесконечности. Хотя заявляете, что от 1. При $a=1$ у Вас там деление на 0 ($b$ считаем равным 1), а для промежутка от 1 до 2 Вы не рассматриваете ни одного значения. Не могли бы Вы привести графики сравнения на промежутке $a\in (1;2)$? (А то мне самому больше лень, чем любопытно :)

[SVD-d]

kalin в сообщении #1212941 писал(а):

Упростим все до чисел. Я приводил числовой пример: при a=167 и b=1.2

Всё-таки задача для случая $a = 167, b = 1.2$ отличается от задачи $a = 100, b = 1$ (равно как та - от задачи $a = 1000, b = 1$) менее чем на одну десятитысячную. А вот что будет при малых соотношениях - вопрос хороший (тем более, что задаю его не только я).

Потому что при больших отношениях мы переходим от задачи "аппроксимируем периметр эллипса" к задаче "как можно сильнее приблизить $\pi$ к $4a$". У которой есть куда более простое решение.

[12d3]

grizzly в сообщении #1212942 писал(а):

Не могли бы Вы привести графики сравнения на промежутке $a\in (1;2)$? (А то мне самому больше лень, чем любопытно

Графики, приведенные tolstopuz'ом на предыдущей странице, говорят о том, что в этом диапазоне все формулы настолько точные, что там уже машинная точность сильно влияет. И непонятно, как адекватно оценивать ошибку.

[kalin]

Странный вопрос. В этой зоне все формулы практически одинаково себя ведут. Погрешности практически нулевые. Выполнил расчеты периметра L по всем четырем формулам при a=1.5 и b=1
Они с большой точностью совпали. Потому что Формула Рамануджана очень точна вблизи (1,1):



Существенные расхождения начинаются при a/b>7

[mihaild]

kalin в сообщении #1212941 писал(а):

Другие формулы что покажут?

Для таких данных: формула имени g______d: $P = 4a$. Отыгрывает почти половину точности у 2й формулы Рамануджана, и при этом гораздо проще.

Никто не решает задачу "найти формулу поточнее для данного входа" (подумайте, откуда берется "точное значение", с которым вы сравниваетесь? вот примерно оттуда же его возьмет любой человек, которому понадобится конкретная длина). Максимум - решают задачу "найти формулу поточнее в данной области". И тут можно рассматривать разные области.

kalin в сообщении #1212916 писал(а):

Зачем мудрить с какими-то эксцентриситетами? Гляжу на ваши графики и ничего понять невозможно.

Упражнение: выразить $\frac{a}{b}$ через эксцентриситет, и наоборот.

[kalin]

mihaild в сообщении #1212952 писал(а):

Максимум - решают задачу "найти формулу поточнее в данной области".

Все верно. Я говорю об области $1\le \frac ab <\infty $

[mihaild]

kalin в сообщении #1212954 писал(а):

Я говорю об области $1\le \frac ab <\infty $

К этой области тривиально сводится всё. А графики вы эффективно строите (так, что можно что-то разобрать) для $ab > c \approx 5$. Посмотрите на графики tolstopuz, что происходит в окрестности единицы.

На бесконечности, конечно, формулы получающиеся из степенного ряда смотреть бессмысленно - длина в первом порядке линейна, а степенной ряд более чем из двух членов - нет.

[tolstopuz]

kalin в сообщении #1212941 писал(а):

Я приводил числовой пример: при a=167 и b=1.2 будем иметь значения периметра эллипса L:

Возьмем $a=100,b=55$:
точное значение $497.2629400442381$
Бессель $9$-го порядка $497.26294004423721$
Абед $497.26294003334272$
new $497.26293998979611$
Рамануджан $497.26293998954867$

То есть $9$-й порядок Бесселя дает $14$ верных знаков, Абед - $10$, Рамануджан и ваш метод - $9$. Зато при $a\gg b$ ваш метод не имеет равных. Что важнее - зависит от задачи.

[Red_Herring]

При $ a \gg b$ вполне разумно построить ряд по степеням $b/a$ который, в отличие от уродца, предлагаемого ТС будет гораздо проще и при наличии достаточного числа знаков будет давать десятки верных знаков

[SVD-d]

kalin в сообщении #1212950 писал(а):

Выполнил расчеты периметра L по всем четырем формулам при a=1.5 и b=1
Они с большой точностью совпали

Перерисуйте в двойном логарифмическом, пожалуйста. Для удобства можете по оси Ox отложить эксцентриситет или, если так интереснее, $a/b-1$.

[mihaild]

Red_Herring в сообщении #1212969 писал(а):

При $ a \gg b$ вполне разумно построить ряд по степеням $b/a$

Это же будет разложение $E$ по степеням $e$ в окрестности $1$? У него там разве нет точки ветвления?

[Red_Herring]

mihaild в сообщении #1212971 писал(а):

Это же будет разложение $E$ по степеням $e$ в окрестности $1$? У него там разве нет точки ветвления?

Нет, по степеням $b/a$, при $0<b\ll a$, что не совсем то же самое, что $1-e\approx b^2/2a^2$. Просто надо с интегралом поаккуратнее в этой точке.

[kalin]

Red_Herring в сообщении #1212969 писал(а):

в отличие от уродца, предлагаемого ТС

[Red_Herring]

yeah, right,

Цитата:

beauty is in the eye of the beholder

[sergei1961]

Ну и что прощается здесь одним, совсем иначе для других, к чему здесь уже все привыкли, впрочем.

Lia: post1213078.html#p1213078