Задача про Сферическое зеркало

[svv]

Можно проверить, что при $h\to 0$ формула переходит в известную формулу для сферического зеркала. Это лежит в стороне от собственно задачи, поэтому сделаю сам.

Положим $h=0$, тогда корень равен единице:
$\frac{1}{R-u}-\frac{1}{v-R}=\frac{2}{R}$
Приведём к общему знаменателю слева:
$\frac{v-2R+u}{(v-R)(R-u)}=\frac{2}{R}$
Избавимся от дробей:
$R(v-2R+u)=2(v-R)(R-u)$
$Rv-2R^2+uR=2(vR-R^2-uv+uR)$
Много чего сокращается:
$vR+uR=2uv$
Делим на $uvR$ :
$\frac 1 u+\frac 1 v=\frac 2 R$

guitar15 в сообщении #1209085 писал(а):

разложить корень в ряд

Верно. Нужны два первых слагаемых.

[guitar15]

После разложения корня получилось

$$1-\frac{h^2}{2R^2}$$

при $h\to 0$

[EUgeneUS]

guitar15

(можно поинтересоваться)

Вы корень в ряд как раскладывали? Брали значение в точке, брали производную в точке, подставляли в рад Тейлора... Или как-то иначе?

[guitar15]

В ряд Тейлора. Также $h$ больше второй степени я исключил.

[EUgeneUS]

guitar15

(полезная формула)

при $a << 1$
$(1 \pm a)^\alpha\sim 1\pm \alpha a$
Запоминается моментально, а потом экономит много времени

[svv]

Подставьте это вместо корня. Ну, а к форме, данной в ответе, это, наверное, приводится аналогично тому, как в моей проверке.

-- Ср апр 12, 2017 22:09:56 --

Кстати, эта формула

guitar15 в сообщении #1208878 писал(а):

$$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{2}{R}+\frac{h^2}{R^2}(\frac{1}{R}-\frac{1}{u})^2$$

правильной быть не может, по двум причинам:
1) В правильную формулу $u$ и $v$ должны входить симметрично (либо её можно привести к симметричному виду). Ведь если пустить лучи в обратном направлении (из $B$ через $M$ в $A$), закон отражения будет соблюдён. Следовательно, формула, которая получится перестановкой $u$ и $v$, должна остаться правильной, но в процитированном варианте это исключено (правая часть изменится, а левая нет).
2) В правой части слагаемое, не зависящее от $h$, и слагаемое, квадратичное по $h$, имеют разную размерность.

[guitar15]

Все получилось !!! Спасибо