Найти объем тела

[Poweball]

Имеется практическая задача: имеется ядро арахиса, которое покрыто шоколадом постоянной толщины, найти объем этого шоколада.
Будем считать, что ядро арахиса описывается формулой эллипсоида:

$$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2+\left(\frac{z}{c}\right)^2=1$$

Для простоты будем считать, что толщина слоя шоколада - d единиц.
Из соображений симметрии можно считать объем в первом октанте, где все переменные положительные.
Для нахождения объем нужно найти уравнение поверхности, с этим как раз возникли сложности.

Пусть точка M($x_0,y_0,z_0)$ принадлежит эллипсоиду,
тогда вектор нормали в этой точке будет:

$$\vec{N}\left(\frac{2 x_0}{a^2},\frac{2 y_0}{b^2},\frac{2 z_0}{c^2}\right)$$

Далее, как я понимаю, можно составить параметрическое уравнение нормальной прямой к эллипсоиду, и отмерив на ней расстояние d - получим уравение искомой поверхности.

Правильный ли мой ход рассуждений? Или решение можно найти более легким способом?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Уберите знаки долларов из середины формул. Каждая формула должна быть полностью заключена в знаки долларов, но не содержать их в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

Собственно, если задача практическая, а не учебная, то зачем интегралы? Объём эллипсоида считается по очень простой формуле без всяких интегралов, поскольку эллипсоид получается из шара тремя растяжениями (сжатиями) по трём осям. Ядро, покрытое шоколадом, тоже можно считать (с достаточной для практики точностью) эллипсоидом, полуоси которого увеличены на толщину слоя шоколада. Наверняка отличие формы ядра от эллипсоида больше, чем погрешность, вносимая предположением, что после покрытия шоколадом снова получается эллипсоид.

Poweball в сообщении #1206632 писал(а):

Правильный ли мой ход рассуждений?

Формально правильный, но для практической задачи вряд ли целесообразный.

[Poweball]

Someone
Да, действительно, при таком подходе объем считается очень просто, зная что объем эллипсоида с полуосями $a, b, c$ равен:
$V = \frac{4\pi a b c}{3}$
получим ответ:
$V_0 = \frac{4 \pi ((a+d)(b+d)(c+d) - a b c)}{3}$

Но дейстивительно ли полученная фигура будет эллипсоидом?

[Someone]

Poweball в сообщении #1206711 писал(а):

Но дейстивительно ли полученная фигура будет эллипсоидом?

Я разве сказал, что будет? Я сказал:

Someone в сообщении #1206707 писал(а):

можно считать (с достаточной для практики точностью) эллипсоидом

Вы уверены, что ядро арахиса — точно эллипсоид? Если Вы это ядро согласны считать эллипсоидом, то нет смысла особо анализировать, что получится, если его равномерно обмазать шоколадом. Да и так ли уж оно равномерно обмазано?

Но, конечно, если Вас заела страсть к теоретическим исследованиям, то можете повозиться.

[arseniiv]

Poweball
Разумеется, почти никогда в точности не будет — рассмотрите, например, случай, когда исходный эллипсоид «почти плоский» — когда как минимум одна полуось значительно короче остальных двух. Но чем ближе исходный эллипсоид к сфере, тем будет получаться более похоже (ну а сфера будет переходить в сферу и являться потому эллипсоидом уже с точностью).

Я тоже думаю, что неточность приближения реального ореха эллипсоидом и реальной процедуры покрытия шоколадом вашей съест всю разницу между тем, что получится из эллипсоида по этой процедуре, и эллипсоидом, полученным «наивно», как моделями настоящего результата настоящего процесса.