Самое забавное, что линейка, приложенная к (стационарно) вращающемуся телу, измеряет "собственное расстояние" вдоль линии в пространстве-времени, на которой часы синхронизированы по правилу Эйнштейна (на незамкнутой линии это возможно). Поэтому она вовсе не лежит на поверхности

Линейка тоже имеет свою историю существования в четвёртом измерении. Стало быть, в стационарной задаче совершенно не имеет значения как именно мы проведём вдоль неё "линию в пространстве-времени". Имеют значение те числа, которые нанесены на концах линейки (ибо разница между ними и есть расстояние).
Смысл этого "одновременно" мы тут и обсуждаем.
Штука в том, что при измерении расстояний в стационарной задаче (а равномерно вращающаяся СО - это стационарная задача) смысл этой одновременности не имеет никакого значения.
Обсуждаемая гиперповерхность одновременности, как подпространство пространства событий, образована подмножеством событий, а не набором мировых линий. Вдоль этой гиперповерхности можно измерять расстояния только между событиями пересечения этой гиперповерхности и мировых линий материальных точек
Вы видите множество событий, а я вижу множество точек трёхмерия + история его существования в четвёртом измерении. Поэтому я измеряю расстояния между точками трёхмерия, а не событиями. И если это трёхмерие стационарно, даже вопрос о том "в какой момент выполнено изменение" не имеет значения.
Вы применяете термин "собственное расстояние" так же свободно, как и "собственное время"
Да, а ещё так же свободно, как термин "энергия покоя".
при наличии простейшей динамики возникнут сложности
В динамике добавится только зависимость от определения "момента измерения", который, конечно, зависит от способа синхронизации.
Задача. Допустим, в полом неподвижном обруче радиусом

лежит несколько витков портняжного метра. Этот портняжный метр может скользить без трения внутри обруча. Мы раскручиваем этот портняжный метр внутри обруча до угловой скорости

(по времени обруча), так что его линейная скорость становится релятивистской. Какова длина одного витка этого портняжного метра и какова длина окружности неподвижного обруча в системе отсчёта этого портняжного метра?
Давайте для определённости примем, что

, тогда длина витка портняжного метра составит

. Очевидно, что это то же самое, что Вы называете "длиной окружности обруча в СО портняжного метра". (Кстати, в этой СО обруч не неподвижен).
Догадываюсь о Вашем следующем вопросе...