Как доказать связность множества

[karpanin]

Рассмотрим множество A(внутренность квадрата из которой удалены открытые интервалы параллельные оси OX с рациональной координатой Y и добавлены границы этих интервалов).

Рассмотрим множество A(внутренность квадрата из которой удалены открытые интервалы параллельные оси OX с иррациональной координатой Y и добавлены границы этих интервалов).

Требуется доказать связность этих множеств. Доказательство требуется подробное, максимально строгое, но понятное школьнику старших классов.

Вот одна из попыток доказательства:
Предположим, что нам удалось найти в нём какое-то открыто-замкнутое подмножество P, не совпадающее со всем множеством и не равное пустому множеству. Так как любой интервал числовой прямой связное множество, граница P не может пересекать никакой интервал принадлежащий A, то есть, совпадает с каким-то открытым интервалом с рациональной координатой Y. Рассмотрим точку , являющуюся левым концом этого интервала, любая её окрестность будет содержать точки из A как принадлежащие P, так и не принадлежащие ему. То есть эта точка не принадлежит ни P , ни его дополнению в A (если она принадлежит P, то P не открыто, а если принадлежит дополнению P в A, то дополнение не открыто, а, значит, P не замкнуто). Противоречие.

[mihaild]

Для начало - как выглядит максимально строгое, но понятное школьнику старших классов, определение связного множества?

[karpanin]

Примерно так: Связное множество — множество, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.

[mihaild]

Ну тогда элементарно: что можно сказать об объединении двух замкнутых множеств?
Правда ваше определение совпадает с общепринятым только для замкнутых множеств, и если вы знаете, что такое замкнутые (и открытые) множества, то вполне можете понять и стандартное определение (правда ИМХО это сильно выходит за рамки школьной программы).

[karpanin]

Возможно, это определение выходит за рамки школьной программы. Но школьнику, о котором идёт речь, оно известно и понятно. Хотелось бы увидеть доказательство.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.