Растояние от вершины куба до диагонали

[Atij]

Помогите пожалуйста разобраться:
Дан куб, известны все его рёбра - единички. Вычислить растояние между вершиной куба иего диагональю не проходящей через эту вершину.
Задачу нужно решать математически, использую кординаты вершин, у мну такая идея:
ввиду того что известны все кординаты, можно (наверное) ) вычислить уравнение диагонали, а потом воспользоваться формулов $d = |Ax_0+By_0+Cz_0|\sqrt{A^2+B^2+C^2}$, подскажите пожалуйста как вывести уравнение прямой зная кординаты её начала и конца (x,y,z)? И правильно ли я привёл формулу?

СПС)

[antbez]

Вроде правильно(точно не помню). А ур-ие прямой в пр-ве лучше всего брать каноническое.

[Atij]

примерчик мона для этого задания?)

[PAV]

Atij писал(а):

И правильно ли я привёл формулу?

Неправильно. Нужно перед формулой и после нее поставить по одному знаку доллара, а круглые скобки заменить на фигурные.

[Atij]

)) а по сути мона? плиз)

[Алексей К.]

Atij писал(а):

И правильно ли я привёл формулу?

Нет. Это что-что вроде формулы для расстояния от точки до плоскости, проходящей через начало координат. Не ленитесь, справочники/учебники полистайте...

[Atij]

Хорошо, уравниние как вывести?

[TOTAL]

Atij писал(а):

Хорошо, уравниние как вывести?

$(0, 0, 0)$ - это вершина
$(t, t, 1-t)$ - а это точка на диагонали
Какое между ними расстояние?
При каком $t$ расстояние наименьшее? (его и надо найти)

[Алексей К.]

Я бы взял в качестве диагонали $(t,t,t)$, т.е. $(0,0,0)\to(1,1,1)$. А в качестве тестовой вершины --- любую другую, кроме $(0,0,0)$ и $(1,1,1)$. Так, по-моему, как-то симметричнее дело выглядит...

[Someone]

Atij писал(а):

Дан куб, известны все его рёбра - единички. Вычислить растояние между вершиной куба иего диагональю не проходящей через эту вершину.
Задачу нужно решать математически, использую кординаты вершин, у мну такая идея:
ввиду того что известны все кординаты, можно (наверное) ) вычислить уравнение диагонали, а потом воспользоваться формулов ...

Ну, про формулу Вам уже объяснили, что она неправильная.
Пусть у нас есть прямая $L$ и точка $M^*(x^*,y^*,z^*)$, а требуется найти расстояние $d(M^*,L)$ от точки до прямой. Прямую удобно задать либо каноническим уравнением

$$\frac{x-x_0}l=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n\text{,}$$

либо параметрическим

$$\begin{cases}x=x_0+lt\text{,}\\ y=y_0+mt\text{,}\\ z=z_0+nt\text{.}\end{cases}$$

В обоих случаях у нас есть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$, принадлежащая прямой, и ненулевой вектор $\vec a=\{l,m,n\}$, параллельный прямой (направляющий вектор). Обозначим также $\varphi$ угол между векторами $\vec a$ и $\overrightarrow{M_0M^*}$ ($0\leqslant\varphi\leqslant\pi$).
Если Вы сделаете рисуночек, изобразив на нём прямую, обе точки, оба вектора, а также перпендикуляр, опущенный из точки $M^*$ на прямую, то легко увидите, что искомое расстояние $d(M^*,L)=|\overrightarrow{M_0M^*}|\sin\varphi$, и нужно только вспомнить, в определении какого из многочисленных произведений векторов в аналитической геометрии встречается этот самый синус.

[Архипов]

Искомое расстояние h от вершины до диагонали d, упирающейся в противоположное ребро а, равно а*а/d.Из подобия прямоугольных треугольников. Длину диагонали вычислим любым способом.

[Алексей К.]

Расстояние, искомое в обсуждаемой задаче, равно $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

[Архипов]

Алексей К. писал(а):

Расстояние, искомое в обсуждаемой задаче, равно .

Если диагональ проведена через вершину. А автор просил для любой прямой от вершины до противоположного ребра. То есть искомое расстояние имеет пределы от 1 до того значения, что Вы указали.

[Алексей К.]

Atij (автор) писал(а):

Вычислить растояние между вершиной куба иего диагональю не проходящей через эту вершину.

Архипов писал(а):

А автор просил для любой прямой от вершины до противоположного ребра.

[Архипов]

Ну, и что хотели сказать?
Диагонали куба - все возможные прямые, проходящие через его вершины. А автор просил про прямую, не проходящую через вершину. То есть не про диагональ куба , а про диагональ треугольника, катеты которого - диагональ основания и расстояние от основания до произвольной точки на вертикальном ребре куба.