2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 11:49 


13/05/16
131
binki в сообщении #1452922 писал(а):
Бесконечный спуск существует тогда, когда новая тройка решения сохраняет свойства предыдущей

Попробую воспроизвести ваши рассуждения подробно. Итак, имеем уравнение $x^3+y^3=z^3$. Требуется доказать, что оно не имеет решений в натуральных попарно взаимно простых числах. Предположим обратное, то есть что существует тройка $x=a,y=b,z=c$, удовлетворяющая уравнению. Исходное уравнение равносильно такому $(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$, то есть в терминах $a,b,c$ имеем $(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$. Вспомним формулы Абеля. Получается, что в правой части стоит произведение трёх кубов. Ясно, что одно из чисел $a,b,c$ делится на три. Пусть это будет $c$. Тогда $a+b=9A^3,c-a=m^3,c-b=w^3$, то есть действительно справа произведение трёх кубов. Далее, насколько я понимаю, вы делаете постановку $x=a-d,y=b-d,z=c-d$, причём $x+y=a+b-2d=9h^3,h\in\mathbb{N}$, то есть $d=(a+b-9h^3)/2 $. Вы выбираете $d$таким образом, чтобы справа получить произведение трёх кубов. И действительно, в правой части будет $(3h)^3w^3m^3$,а слева $(a+b-c-d)^3$. Далее возможны три ситуации.
1)$(a+b-c-d)^3=(3h)^3w^3m^3$, что вы и рассматриваете методом бесконечного спуска
2)$(a+b-c-d)^3<(3h)^3w^3m^3$
3)$(a+b-c-d)^3>(3h)^3w^3m^3$
Случаи 2 и 3 и нужно рассмотреть

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 12:55 


19/04/14
321
Antoshka в сообщении #1453037 писал(а):
Далее возможны три ситуации.
1)$(a+b-c-d)^3=(3h)^3w^3m^3$, что вы и рассматриваете методом бесконечного спуска
2)$(a+b-c-d)^3<(3h)^3w^3m^3$
3)$(a+b-c-d)^3>(3h)^3w^3m^3$
Случаи 2 и 3 и нужно рассмотреть

Если в правых частях 2 и 3 появляется выражение $a_1^3+b_1^3-c_1^3\ne0$. то невозможно осуществить разложения разностей и суммы кубов с образованием кубов $(c_1-a_1), (c_1-b_1)$ и $3(a_1+b_1)$. Здесь $(a_1,b_1,c_1)$ новая тройка решения УФ.
Следовательно, случаи 2 и 3 не существуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 13:06 


13/05/16
131
binki в сообщении #1453059 писал(а):
невозможно осуществить разложения разностей и суммы кубов с образованием кубов $(c_1-a_1), (c_1-b_1)$ и $3(a_1+b_1)$. Здесь $(a_1,b_1,c_1)$ новая тройка решения УФ.

Напишите, какое конкретно равенство не выполняется в случае 2 и 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 18:04 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
binki в сообщении #1453004 писал(а):
Числа $(a,b,c)$ взаимно простые и пусть $(c-a) $ делится на три, тогда выражения $3(c-a), (c-b), (a+b)$ также взаимно простые
Мне вот этот переход неясен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 18:43 


19/04/14
321
Antoshka в сообщении #1453064 писал(а):
Напишите, какое конкретно равенство не выполняется в случае 2 и 3

Ещё раз. Случаи 2 и 3 не существуют для предположения, что ВТФ не верна. Для этих случаев ВТФ изначально верна. Действительно, при возведении в куб $(a+b-c)^3$ среди слагаемых есть выражение $a^3+b^3-c^3$. Если ВТФ верна, то есть куб не разлагается в сумму двух кубов, а именно $a^3+B=c^3$, то не может быть сформировано рассматриваемое произведение трех кубов $(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$. В этом случае $b= \sqrt [3]{B},  c-b=c-\sqrt [3]{B}, a+b=a+\sqrt [3]{B}$. Да и сама функция примет вид $f^3=(a+\sqrt [3]{B}-c)^3$. Поэтому для случаев 2 и 3 ничего доказывать не требуется.

-- 09.04.2020, 20:12 --

venco в сообщении #1453140 писал(а):
Мне вот этот переход неясен.

Уважаемый venco
Кубы $a^3,b^3,c^3$ из равенства Ферма являются составными числами $$a^3=(c-b)(c^2+cb+b^2),\quad b^3=3(c-a)(c^2+ca+a^2)/3, \quad c^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$.
Поэтому если $(a,b,c)$ взаимно простые, то взаимно простые и $3(c-a),\quad (c-b),\quad (a+b)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 20:06 


13/05/16
131
binki в сообщении #1453155 писал(а):
Ещё раз. Случаи 2 и 3 не существуют для предположения, что ВТФ не верна. Для этих случаев ВТФ изначально верна. Действительно, при возведении в куб $(a+b-c)^3$ среди слагаемых есть выражение $a^3+b^3-c^3$. Если ВТФ верна, то есть куб не разлагается в сумму двух кубов, а именно $a^3+B=c^3$, то не может быть сформировано рассматриваемое произведение трех кубов $(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$. В этом случае $b= \sqrt [3]{B},  c-b=c-\sqrt [3]{B}, a+b=a+\sqrt [3]{B}$. Да и сама функция примет вид $f^3=(a+\sqrt [3]{B}-c)^3$. Поэтому для случаев 2 и 3 ничего доказывать не требуется.

Смотрите, вы делаете постановку
Antoshka в сообщении #1453037 писал(а):
подстановку $x=a-d,y=b-d,z=c-d$, причём $x+y=a+b-2d=9h^3,h\in\mathbb{N}$, то есть $d=(a+b-9h^3)/2 $.

У вас не доказано, что такая постановка обращает уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ именно в нуль, а ведь именно это утверждение вам нужно для применения бесконечного спуска

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 20:50 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
Antoshka в сообщении #1453177 писал(а):
Смотрите, вы делаете постановку
Antoshka в сообщении #1453037 писал(а):
подстановку $x=a-d,y=b-d,z=c-d$, причём $x+y=a+b-2d=9h^3,h\in\mathbb{N}$, то есть $d=(a+b-9h^3)/2 $.

У вас не доказано, что такая постановка обращает уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ именно в нуль, а ведь именно это утверждение вам нужно для применения бесконечного спуска
Точно, в этом и загвоздка.
$(a+b-c)^3=3(a+b)(c-a)(c-b)$ только при условии $a^3+b^3=c^3$, а для заменённых значений это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 22:10 


19/04/14
321
Antoshka в сообщении #1453177 писал(а):
У вас не доказано, что такая постановка обращает уравнение $x^3+y^3-z^3=0$ именно в нуль, а ведь именно это утверждение вам нужно для применения бесконечного спуска

1. Показано существование $f_1^3<f^3$
2. Показано, что $f_1^3$ не может существовать без существования новой тройки решения УФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 22:20 
Заслуженный участник


04/05/09
4546
binki в сообщении #1453203 писал(а):
1. Показано существование $f_1^3<f^3$
Показано существования куба: $3(c_1-a_1)(c_1-b_1)(a_1+b_1)=g^3$.

binki в сообщении #1453203 писал(а):
2. Показано, что $f_1^3$ не может существовать без существования новой тройки решения УФ.
Не показано, что $3(c_1-a_1)(c_1-b_1)(a_1+b_1)=g^3=(a_1+b_1-c_1)^3$.
А именно это нужно, чтобы $a_1^3+b_1^3=c_1^3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение09.04.2020, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
binki
Математическое рассуждение - это последовательность коротких чётко сформулированных утверждений. Попробуйте представить свои результаты в подобной форме и скорее всего сами увидите все дыры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение10.04.2020, 09:42 


19/04/14
321
Утундрий в сообщении #1453210 писал(а):
Математическое рассуждение - это последовательность коротких чётко сформулированных утверждений. Попробуйте представить свои результаты в подобной форме и скорее всего сами увидите все дыры.

Уважаемый Утундрий
Полностью согласен с Вами. Но, показывая коротко суть возможного бесконечного спуска для кубов, я говорил, что существуют не разъясненные моменты, и возникнут вопросы, на которые надо будет отвечать.
Вопросы оказались загвоздистые, и куб $f_1^3$ может выйти не из той двери, на что указал Уважаемый venco. Поэтому здесь надо подумать.
Нет сомнения, что Ферма мог бы своими методами решить этот загвоздистый вопрос рассматриваемого бесконечного спуска.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение10.04.2020, 18:27 


13/05/16
131
shwedka в сообщении #257709 писал(а):
Автор статьи, следуя Эдвардсу, предполагает, что на самом деле у Эйлера было два доказательства.Первое было безошибочным, но потом ему пришла в голову казавшаяся блестящей идея, и он забросил правильное доказательство, придумав другое, очень красивое, но ошибочное. Автор статьи, обдумывая дошедшие фрагменты, пытается восстановить первоначальное доказательство. Оно оказывается вполне элементарным и не очень длинным.

Где можно посмотреть второе доказательство Эйлера, то есть не то, которое у Постникова,а которое правильное

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение10.04.2020, 18:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Antoshka
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение11.04.2020, 07:28 


19/04/14
321
Antoshka в сообщении #1453037 писал(а):
в правой части будет $(3h)^3w^3m^3$,а слева $(a+b-c-d)^3$. Далее возможны три ситуации.
1)$(a+b-c-d)^3=(3h)^3w^3m^3$, что вы и рассматриваете методом бесконечного спуска

Здесь Вами допущена ошибка. Равенство $(a+b-c-d)^3=[(a-d)+(b-d)-(c-d)]^3$ выполняется. Но $a^3+b^3-(c+d)^3\ne (a-d)^3+(b-d)^3-(c-d)^3$.
Трактовка $(a+b-c-d)^3$ jошибочная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему Ферма не мог доказать ВТФ?
Сообщение11.04.2020, 10:54 


13/05/16
131
binki в сообщении #1453508 писал(а):
Здесь Вами допущена ошибка. Равенство $(a+b-c-d)^3=[(a-d)+(b-d)-(c-d)]^3$ выполняется. Но $a^3+b^3-(c+d)^3\ne (a-d)^3+(b-d)^3-(c-d)^3$.
Трактовка $(a+b-c-d)^3$ jошибочная.

Я потом сформулировал вам вашу ошибку по-другому, после чего venco со мной согласился, а вы согласились с ним, что допустили ошибку

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group