Доказать сходимость последовательности и найти ее предел

[yeti]

Дана последовательность: $ 3, 3+\frac{1}{3} , 3+ \frac{3}{3+\frac{1}{3}}, 3+ \frac{1}{3+ \frac{1}{3+ \frac{1}{3}}} ...$

Нужно доказать ее сходимость, т.е. доказать существования предела, что он равен какому-то определенному числу. И найти этот предел.

Для этого, насколько я понимаю, нужно написать формулу n-ого члена последовательности, в чем у меня сразу и возникают проблемы.
Понятно, что последовательность будет сходиться к какому-то числу около 3-ки, но как его посчитать более точно?

[Brukvalub]

Примените теорему Вейерштрасса о монотонной последовательности.

[Math_er]

yeti Можно и явно найти предел. Там же просто цепная дробь $[3;3,3,3,3,...],$ которая равна $\frac{3+\sqrt{13}}{2}$.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.