Числовые поля

[geomath]

Скажите, можно ли на множестве действительных чисел определить поле так, чтобы дважды два равнялось пяти?

[PAV]

Множество действительных чисел уже является полем. В смысле, что операции сложения и умножения входят в само понятие "действительное число". Если Вы их переопределяете, что по определению уже имеете дело с другим множеством. Его элементы можете обозначать любыми значками, какими пожелаете.

[AD]

Почему бы и нет? Определим отображение $f:\mathbb R\to\mathbb R$ следующим образом:

$$f(x)=\begin{cases}5,&x=4\cr4,&x=5\cr x,&\text{иначе.}\end{cases}$$

И введем операции $\oplus: \mathbb R^2\to\mathbb R$, $\otimes: \mathbb R^2\to\mathbb R$ по правилу $x\oplus y=f^{-1}(f(x)+f(y))$, $x\otimes y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$. В этом случае, очевидно, $2\otimes2=f^{-1}(f(2)\cdot f(2))=f^{-1}(2\cdot2)=f^{-1}(4)=5$.
Почему получится поле? Потому что, очевидно, отображение $f:\Bigl(\mathbb R,\oplus,\otimes\Bigr)\to\Bigl(\mathbb R,+,\cdot\Bigr)$ взаимно однозначно и сохраняет операции (то есть $f(x\oplus y)=f(x)+f(y)$ и $f(x\otimes y)=f(x)\cdot f(y)$ по построению).

И вообще, см. мою подпись )))

Цитата:

1=2 при достаточно больших значениях 1

[geomath]

Хорошо, а топологическое поле можно?

[Профессор Снэйп]

PAV писал(а):

Множество действительных чисел уже является полем.

Э-э-э... Позвольте поправить.

Поле --- это алгебраическая система сигнатуры $\langle 0,1, +, \cdot \rangle$, удовлетворяющая определённым аксиомам. То есть упорядоченная пара, состоящая из носителя и отображения, задающего интерпретацию символов указанной сигнатуры. То есть, в самом строгом смысле, каждое поле состоит ровно из двух элементов

Под "множеством действительных чисел" вероятно всё же стоит понимать носитель "поля действительных чисел"

Добавлено спустя 2 минуты 32 секунды:

geomath писал(а):

Хорошо, а топологическое поле можно?

Ну а что Вам мешает так же взять биекцию $\mathbb{R}$, переводящую $4$ в $5$ и перенести при помощи этой биекции исходную топологию?

[AD]

geomath писал(а):

Хорошо, а топологическое поле можно?

Ну то же самое, назовем множество $W\subseteq\mathbb{R}$ открытым, если существует некоторое открытое в обычном смысле множество $V\subseteq\mathbb{R}$ такое, что $W=f^{-1}(V)$. Очевидно, что в этом случае $f$ будет гомеоморфизмом рассматриваемых полей. Поскольку $f$ по-прежнему уважает операции, то операции $\oplus$ и $\otimes$ будут непрерывными относительно новой топологии. Еще какие структуры ввести прикажете?

P.S. Я тут только что заметил, что у нас $f^{-1}=f$, после чего многие вещи становятся еще очевиднее. Скажем, очевидно, что $f$ отображает открытые множества в открытые, что нужно, чтобы доказать, что $f$-гомеоморфизм.

Добавлено спустя 1 минуту 8 секунд:

Так, меня немножко опередили.

Профессор Снэйп писал(а):

Э-э-э... Позвольте поправить.

Поддерживаю.

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

Вообще гораздо поучительнее понять, можно ли ввести операции, непрерывные в исходной топологии, с заданным свойством $2\otimes 2=5$.

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

Хотя тоже не сложно, наверное. Просто растянуть все что дальше тройки ...

[geomath]

Хорошо, а в чем тогда состоит смысл теоремы, что всякое ... (не помню какое) топологическое поле изоморфно либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов? Ведь операции сложения и умножения, по-вашему, могут быть любыми. Представляете, разрезаем яблоко пополам, потом половинки тоже режем пополам, начинаем их подсчитывать и насчитываем... 5 штук!

[Профессор Снэйп]

geomath писал(а):

Хорошо, а в чем тогда состоит смысл теоремы, что всякое ... (не помню какое) топологическое поле изоморфно либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов? Ведь операции сложения и умножения, по-вашему, могут быть любыми. Представляете, разрезаем яблоко пополам, потом половинки тоже режем пополам, начинаем их подсчитывать и насчитываем... 5 штук!

Изоморфно --- это не значит равно!!!

Во всех предлагаемых Вам выше примерах построенное поле (носитель --- действительные числа, операции (и топология) определены нестандартно) изоморфно обычному полю действительных чисел (с носителем, равным множеству действительных чисел, и стандартно определёнными операциями).

Советую разобраться с определением изоморфизма

[geomath]

Вот-вот, я так и понял, что с виду упомянутая теорема вроде бы очень красивая, а на поверку... мало что значащая.

Я почему спросил. У Л.С. Понтрягина есть замечательная книжечка "Обобщения чисел" (давно, правда, я ее читал), и в смысле упомянутой теоремы, там приводимой, обобщить числа дальше кватернионов невозможно. Но, получается, обобщить невозможно "носитель", а операции обобщить вроде как очень даже возможно. Спрашивается, а можно ли написать книжечку под названием "Обобщения операций"? Может, операций тоже в каком-то смысле не так уж и много?

[Профессор Снэйп]

geomath писал(а):

Вот-вот, я так и понял, что с виду упомянутая теорема вроде бы очень красивая, а на поверку... мало что значащая.

Я почему спросил. У Л.С. Понтрягина есть замечательная книжечка "Обобщения чисел" (давно, правда, я ее читал), и в смысле упомянутой теоремы, там приводимой, обобщить числа дальше кватернионов невозможно. Но, получается, обобщить невозможно "носитель", а операции обобщить вроде как очень даже возможно. Спрашивается, а можно ли написать книжечку под названием "Обобщения операций"? Может, операций тоже в каком-то смысле не так уж и много?

Вы так и не разобрались с определением изоморфизма

Теорема не просто красивая, но реально много чего значащая. Просто Ваш вопрос реально мало что значит. "Обобщить носитель"... поймите, какая это бессмыслица!!!

Писать книги о математике математически безграмотным людям настоятельно не рекомендую. Был тут уже один "писатель" с ником shust, который свою книжку рекламировал. Меня так и подмывало сказать в его сторону пару ласковых... Однако сдержался. Вероятно, зря.

[geomath]

Сами же сказали, что изоморфизм не означает равенства. Если две операции на одном носителе изоморфны, но они не обязательно равны. Значит, это РАЗНЫЕ операции. Для действительных чисел мы привыкли пользоваться всем известными арифметическими операциями. Можно ввести и другие операции, изоморфные им, но ДРУГИЕ. Спрашивается, сколько таких операций можно ввести? Может, имеется такой смысл, не смысл изоморфизма, в котором вопрос о числе этих операций не бессмыслен?

Опять же, при чем здесь "математически безграмотные люди"? Даже если такой, то из моих слов никак не следует, что я собираюсь писать упомянутую или какую бы то ни было книгу. Можете написать ее сами.

[Профессор Снэйп]

geomath писал(а):

Можно ввести и другие операции, изоморфные им, но ДРУГИЕ.

Изоморфных операций не бывает. Бывают изоморфные поля.

geomath писал(а):

Спрашивается, сколько таких операций можно ввести?

Каких операций?

Попробуйте аккуратно выписать определения и, может быть, вопрос решится сам собой

[AD]

Понимаете, множество действительных чисел - это единственное полное архимедово упорядоченное поле. В смысле изоморфизма в категории архимедово упорядоченных полей операции вводятся единственным образом. В смысле изоморфности в других категорях возможна и другая ситуация.

В конце концов, чего вы к действительным числам-то привязались? Вводить операцию на $\mathbb{R}$, на $[0,1]$, на канторовском множестве - это ведь одно и то же!. Множества, имеющие одинаковую мощность, не различимы в категории множеств!

[geomath]

Профессор Снэйп писал(а):

Изоморфных операций не бывает. Бывают изоморфные поля.

Если носитель у нас один и тот же, то можно говорить об изоморфных операциях.

Профессор Снэйп писал(а):

Каких операций?

Вот выше на множестве действительных чисел введены две операции: для одной дважды два равно четырем, а для другой - пяти. Значит, это разные операции. Возможно (в силу теоремы Понтрягина), они изоморфны , но это РАЗНЫЕ операции. Спрашивается, сколько таких (вот каких) операций можно насчитать? Изоморфизм же поступает тривиально: берет и отождествляет их все!

[AD]

Цитата:

Возможно (в силу теоремы Понтрягина), они изоморфны

Я это умею доказывать проще: $f$ - искомый изоморфизм, чтд.

Более того, берете любое отображение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ и вводите по тому же рецепту операции $x\oplus y=f^{-1}(f(x)+f(y))$, $x\otimes y=f^{-1}(f(x)\cdot f(y))$, получаете другое поле, изоморфное данному, причем $f$ и осуществляет изоморфизм. Ясно, что по-другому операции и нельзя ввести, потому что, введя "изоморфные операции", мы как раз возьмем в качестве $f$ имеющийся между ними изоморфизм - и это как раз будет то, что надо. Таким образом, все "изоморфные операции" вот так естественным образом нумеруются отображениями множества, на котором они введены, на себя.

Добавлено спустя 2 минуты 5 секунд:

Предупреждаю: про введение топологий и прочего в большинстве случаев ответ будет тот же.