Числовые поля

[Профессор Снэйп]

geomath писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Изоморфных операций не бывает. Бывают изоморфные поля.

Если носитель у нас один и тот же, то можно говорить об изоморфных операциях.

Нет, нельзя.

Давайте так. Сформулируйте:

1) Определение поля
2) Определение изоморфизма полей
3) Определение "изоморфизма операций"

Первые два Вы найдёте в любой математической энциклопедии. Третье математической науке не известно У Вас есть шанс сказать новое слово в науке

[AD]

Присоединяюсь к предложению Профессора Снэйпа заставить geomathа выписать определения. Хотя, мне, например, понятно, что такое "изоморфные операции". Это операции на одном и том же множестве, при введении которых получаются изоморфные структуры.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Присоединяюсь к предложению Профессора Снэйпа заставить geomathа выписать определения. Хотя, мне, например, понятно, что такое "изоморфные операции". Это операции на одном и том же множестве, при введении которых получаются изоморфные структуры.

Это называется "сопряжённые операции"

Пусть $X$ произвольное множество, $k \in \mathbb{N}$, $f,g : X^k \to X$ --- $k$-арные операции на $X$. То, что мы обсуждаем --- это существование перестановки $s$ множества $X$, для которой $f(x_1, \ldots, x_k) = s^{-1}(g(s(x_1), \ldots, s(x_k)))$. В случае, если операции --- унарные и являются перестановками $X$, получаем сопряжение в группе перестановок.

Не путайте "ферматика", он сейчас ухватится за Ваше "понимаю" и всем станет ещё хуже. У человека каша в голове, он пытается рассуждать сам не понимает о чём, а Вы его категориями грузите

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Это называется "сопряжённые операции"

Спасибо!

Ох, как же это слово перегружено ...

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Только у нас тут одна маааленькая тонкость - у нас две пары операций, сопряженные одной и той же подстановкой. Сюда этот термин тоже распространяется?

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Только у нас тут одна маааленькая тонкость - у нас две пары операций, сопряженные одной и той же подстановкой. Сюда этот термин тоже распространяется?

Думаю нет.

Не уверен вообще, что этот термин имеет хождение. Но, по крайней мере, он кажется более уместным, чем термин "изоморфизм операций".

А вот когда мы начинаем сопрягать две операции одной и той же перестановкой, термин, похоже, вообще теряет смысл. Как и было обещано Разве что рассматривать "сопряжения" не на операциях, а на парах операций...

[STilda]

geomath писал(а):

Скажите, можно ли на множестве действительных чисел определить поле так, чтобы дважды два равнялось пяти?

AD, так, как вы предложили сделать это в третьем посте, это же просто переобозначение символа 4 символом 5 а символа 5 символом 4. Разве это хотел спросить geomath?

[незваный гость]

STilda писал(а):

Разве это хотел спросить geomath?

А сам он знает, что именно спрашивает?!

[PAV]

Вот и мне интересно - что, собственно, в вопросе берется от обычных действительных чисел кроме значков?

[AD]

STilda писал(а):

geomath писал(а):

Скажите, можно ли на множестве действительных чисел определить поле так, чтобы дважды два равнялось пяти?

AD, так, как вы предложили сделать это в третьем посте, это же просто переобозначение символа 4 символом 5 а символа 5 символом 4. Разве это хотел спросить geomath?

Вы совершенно правы. Только я только что объяснил, что по-другому и нельзя. Все, как мы тут говорили, "изоморфные операции" - это лишь переобозначения. (см. сообщение от Пн Янв 21, 2008 19:26:59)

Добавлено спустя 3 минуты 57 секунд:

А если мы хотим "неизоморфные операции" ввести, то в этом смысле нам вещественные числа интересны лишь с двух позиций: 1. они имеют мощность континуум и 2. среди них есть "2" и "5". То бишь поддержал последний пост PAVа.

[geomath]

1. Что такое "изоморфные операции"? Я бы определил их так же, как сделал это AD, причем если операций много и они согласованы друг с другом, то "перестановка" f должна быть одной для всех. Правда, я не согласен, что AD сделал не перестановку, а переобозначение, ведь в исходной топологии исходные операции непрерывны, введенные же операции разрывны в ней.

2. PAV очень правильно спрашивает, что же остается от чисел без операций над ними? Чем, собственно, 4 отличается от 5? Вот Ииисус накормил семью хлебами четыре тысячи человек, и это восприняли как чудо. А математически что в этом чудесного?

[AD]

geomath писал(а):

я не согласен, что AD сделал не перестановку, а переобозначение

Это совершенно одно и то же.

geomath писал(а):

ведь в исходной топологии исходные операции непрерывны, введенные же операции разрывны в ней.

При чем тут вообще топология? Ну, если хотите, чтобы были непрерывными - я и об этом говорил. Ну возьмите что-нибудь типа
$f(x)=\begin{cases}x,&x\le3\cr \frac12x+\frac32,&x>3\end{cases}$

Добавлено спустя 3 минуты 5 секунд:

geomath писал(а):

А математически что в этом чудесного?

Приведите определение понятий: "хлеб", "Иисус", "человек", "накормить". Тогда начнем обсуждать, что в этом математически чудесного.

geomath писал(а):

Чем, собственно, 4 отличается от 5?

Тем, что $2\cdot 2=4$, а не $5$. Но при этом $2\otimes2=5$, а не $4$. Так что, как видите, объекты разные. Со всех точек зрения.

[PAV]

geomath писал(а):

PAV очень правильно спрашивает, что же остается от чисел без операций над ними?

Вообще-то я это у Вас спрашиваю как у автора темы и вопроса.

[geomath]

AD писал(а):

geomath писал(а):

Чем, собственно, 4 отличается от 5?

Тем, что $2\cdot 2=4$, а не $5$. Но при этом $2\otimes2=5$, а не $4$. Так что, как видите, объекты разные. Со всех точек зрения.

Вопрос был, не просто чем 4 отличается от 5, а чем они отличаются в отсутствие операций (сложения и умножения) над числами. Если же записать, что $4 = 2\cdot 2$, а $5 = 2\otimes2$, и тем самым 4 и 5 разные, то в определении операции $\otimes$, в определении$f$, различие 4 и 5 уже присутствует, т.е. они (как и другие числа) различаются не этими разложениями.

[AD]

Вопрос PAVа - не риторический. Вот и я говорю, что при отсутствии на множестве действительных чисел дополнительных структур его элементы никак не различаются. Хотя они и разные${}^1)$ Поэтому Вас и спрашивают - "а почему Вы рассматриваете множество вещественных чисел, а не отрезок или квадрат или ковер Серпинского?", или, что то же самое, "а чем Вы их различаете?"

${}^1)$ Кто скажет, что существует всего одно действительное число, пусть первым бросит в меня камень.

[Профессор Снэйп]

Подпись geomath (91-ый год...) заставила меня вспомнить нашего семинариста по урматам. Один раз он начал семинар словами:

Цитата:

Прошлый раз мы изучали обычный метод Фурье, а сегодня будем изучать улучшенный метод. Вы спросите, зачем нужен улучшенный метод Фурье, если есть обычный. А нужен он затем, что обычный метод Фурье не всесилен, хотя и верен, в отличие от учения Маркса, которое всесильно, потому что верно.