Квантование момента

[salerman]

Пусть есть система,находящаяся в состоянии с определенным моментом импульса(волновая функция-собственная функция соответствующего оператора). Вводя сферические координаты можно получить, что эта фунция является сферической функцией. Кроме того эта функция будет являться собственной функцией для проекции момента на ось z, т.о. на ось z проекция импульса тоже принимает определенное значение. Но сделав циклическую перестановку координат,можно видеть, что проекция на другую ось будет принимать определенное значение. Это кажеться странным, ведь от простого переобозначения поменялась вероятность проекции?

[madschumacher]

salerman в сообщении #1191487 писал(а):

Но сделав циклическую перестановку координат,можно видеть, что проекция на другую ось будет принимать определенное значение.

Каких именно координат? $\{x,y,z \} \rightarrow \{z,x,y \}$ или $\{r, \varphi, \theta \} \rightarrow \{ \theta, r, \varphi \}$ ?

Ну а если серьёзно, то циклическая перестановка $\{x,y,z \} \rightarrow \{z,x,y \}$ может быть представлена в виде ортогонального преобразования, с помощью которого необходимо преобразовать как волновые функции, так и операторы. Так что попробуйте честно расписать результат его действия, скажем, через сохранение интеграла $\langle JM | \hat{J}_z | JM \rangle$, где $J$ -- полное значение момента, а $M$ -- его проекция на ось $z$.

[salerman]

Поменять декартовы.Но вместе с тем и сферические поменяются, ось z просто в x перейдет, но мы по прежнему ее будем в качестве полярной брать.

[madschumacher]

salerman в сообщении #1191493 писал(а):

Поменять декартовы.Но вместе с тем и сферические поменяются, ось z просто в x перейдет, но мы по прежнему ее будем в качестве полярной брать.

грубо говоря, а с операторами $\hat{J}^2$ и $\hat{J}_\alpha, \ \alpha=x,y,z$ при перестановке координат ничего не происходит?

[salerman]

Мне просто не важно как преобразовалась волновая функция, я просто полагаю что она осталась собственной фунцией квадрата момента(т.о. квадрат момента по прежнему имеет определенное значение). Но теперь уже полярная ось направлена не в ту сторону, значит и проекция которая имеет определенное значение не та.

-- 10.02.2017, 17:08 --

madschumacher в сообщении #1191496 писал(а):

salerman в сообщении #1191493 писал(а):

Поменять декартовы.Но вместе с тем и сферические поменяются, ось z просто в x перейдет, но мы по прежнему ее будем в качестве полярной брать.

грубо говоря, а с операторами $\hat{J}^2$ и $\hat{J}_\alpha, \ \alpha=x,y,z$ при перестановке координат ничего не происходит?

Да операторы поменяются.

[madschumacher]

Суть: у Вас выбрано направление $\mathbf{n}$, и для оператора $\hat{J}_\mathbf{n} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial \varphi}$, где $\varphi$ -- угол поворота вокруг $\mathbf{n}$, Ваша волновая функция $Y_{JM}$ является собственной. Ну так вот при ортогональных преобразованиях координат у Вас функция останется собственной для $\hat{J}_\mathbf{n}$, а чтобы выяснить какие буковки изменятся и что конкретно в обозначениях должно поменяться Вам и нужно аккуратно всё расписать. А произнесение голословных рассуждений тут малополезно.

[salerman]

Хорошо, скажем у меня была полярная ось z. Теперь я выбрал другую полярную ось-x.
Изменилась ли от этого волновая функция(собственная функция квадрата момента),записанная в угловых координатах(только отсчитываются от другой оси)?

[Red_Herring]

Квадрат момента имеет вырожденные с.з., с.з. $n(n+1)$ отвечает $(2n+1)$ мерное пространство с.з.

Если выбрать ось z , то поскольку $J_z$ и $J^2$ коммутируют, то это пространство распадается в прямую сумму с.п. оператора $J_z$. Однако $J_z$ и $J_x$ не коммутируют, и соответствующие с.ф. различны.

[salerman]

Red_Herring в сообщении #1191511 писал(а):

Квадрат момента имеет вырожденные с.з., с.з. $n(n+1)$ отвечает $(2n+1)$ мерное пространство с.з.

Если выбрать ось z , то поскольку $J_z$ и $J^2$ коммутируют, то это пространство распадается в прямую сумму с.п. оператора $J_z$. Однако $J_z$ и $J_x$ не коммутируют, и соответствующие с.ф. различны.

Да, это понятно, просто в голове не укладывается, что именно проекция на z имеет определенное значение, если мы другую ось выберем полярной(будем по от другой оси координаты отсчитывать), то вроде наша сферическая функция не поменяется,ведь система по прежнему в состоянии с определенным значением квадрата момента, т.о. и и дифференциальное уравнение на собственную функцию то же. Но теперь уже эта функция стала собственной функцией другой проекции(новой полярной оси)? Как это произошло?

[madschumacher]

salerman в сообщении #1191513 писал(а):

если мы другую ось выберем полярной(будем по от другой оси координаты отсчитывать), то вроде наша сферическая функция не поменяется,ведь система по прежнему в состоянии с определенным значением квадрата момента, т.о. и и дифференциальное уравнение на собственную функцию то же. Но теперь уже эта функция стала собственной функцией другой проекции(новой полярной оси)?

Нет, не так. Если волновая функция была собственной для $\hat{J}_z$, то она и останется собственной для него же. Если Вы захотите выразить её в других сферических координатах (скажем, относительно оси $x$), то у Вас получится линейная комбинация функций $Y_{JM}$ в новых координатах (но, правда, при фиксированном том же $J$).

[Red_Herring]

Ещё раз: собственные значения вырождены. Поэтому там много собственных функций. И много способов выбрать ортонормированный базис в собственном пространстве. И выбирая полярную ось, мы выбираем тем самым этот базис. Выберите другую ось (неважно, как назвать) Вы выберете другой базис.

[salerman]

madschumacher в сообщении #1191516 писал(а):

Нет, не так. Если волновая функция была собственной для $\hat{J}_z$, то она и останется собственной для него же. Если Вы захотите выразить её в других сферических координатах (скажем, относительно оси $x$), то у Вас получится линейная комбинация функций $Y_{JM}$ в новых координатах (но, правда, при фиксированном том же $J$).

Ага,то есть дифференциальное уравнение на поиск собственной функции квадрата момента то же, но вот решение-линейная комбинация функций $Y_{JM}$ с разными M (а не просто одно слагаемое как для оси z). И применяя $\hat{J}_x$ мы уже не получим собственную функцию.

[Red_Herring]

salerman в сообщении #1191521 писал(а):

И применяя $\hat{J}_x$ мы уже не получим собственную функцию.

Получим, но это будет с.ф. квадрата момента и $J_x$, но не $J_z$.

[salerman]

Red_Herring в сообщении #1191522 писал(а):

Получим, но это будет с.ф. квадрата момента и $J_x$, но не $J_z$.

Я имею в виду случай,когда сами координаты не меняем,а сферические координаты от другой оси отсчитуем.

[Walker_XXI]

salerman в сообщении #1191487 писал(а):

Пусть есть система,находящаяся в состоянии с определенным моментом импульса(волновая функция-собственная функция соответствующего оператора). Вводя сферические координаты можно получить, что эта фунция является сферической функцией. Кроме того эта функция будет являться собственной функцией для проекции момента на ось z, т.о. на ось z проекция импульса тоже принимает определенное значение. Но сделав циклическую перестановку координат,можно видеть, что проекция на другую ось будет принимать определенное значение.

Мне кажется, что в своих рассуждениях Вы упускаете 2 вещи:
1) Если у вас задано определённое значение проекции на конкретную ось, то направление этой оси выделено в системе, оси уже не равноправны и просто написав другой индекс у оператора проекции момента мы не получим правильное решение. Как Вам отвечали в самом начале, замена координат изменит вид и волновой функции, и операторов, и исходного дифференциального уравнения.
2) Состояние физической системы не зависит от того, какую систему координат используете для её описания - декартову или сферическую, не зависит от того, какими символами обозначаете оси.

Как бы вы не играли с обозначениями, физически направление оси, значение проекции момента импульса на которую имеет определённое значение, не изменится.