Запись закона эволюции состояния для непрерывного времени

[_hum_]

Есть ли какой-нибудь естественный общий вариант записи закона эволюции системы с непрерывным временем, наподобие известного для дискретного: $s_{k}= F(s_{k-1})$ ? Просится что-то из разряда $s_{t}= F(s_{t-0})$, но как это математически удачно формализовать не совсем понятно.

[Brukvalub]

_hum_ в сообщении #1188028 писал(а):

Есть ли какой-нибудь естественный общий вариант записи закона эволюции системы с непрерывным временем

Попробуйте начать с определения понятия "эволюция системы с непрерывным временем".

[dsge]

$s_{t}= F_ts_{0}$,

[_hum_]

Brukvalub в сообщении #1188031 писал(а):

Попробуйте начать с определения понятия "эволюция системы с непрерывным временем".

эволюция системы с непрерывным временем - это изменение состояния системы во времени в случае, когда время рассматривается как непрерывная величина. и?

dsge в сообщении #1188032 писал(а):

$s_{t}= F_ts_{0}$,

это не аналог варианта для дискретного случая (состояние в последующий момент через состояние в непосредственно предыдущий)

[dsge]

Очевидно, что $ F_t$ - (полу)группа отображений, параметризованная $ t \in \mathbb{R}(\mathbb{R_+})$ $ (F_0=I)$.

[Brukvalub]

_hum_ в сообщении #1188039 писал(а):

эволюция системы с непрерывным временем - это изменение состояния системы во времени в случае, когда время рассматривается как непрерывная величина. и?

И это значит, что

dsge в сообщении #1188044 писал(а):

$ F_t$ - (полу)группа отображений, параметризованная $ t \in \mathbb{R}(\mathbb{R_+})$ $ (F_0=I)$.

[Someone]

_hum_ в сообщении #1188039 писал(а):

это не аналог варианта для дискретного случая (состояние в последующий момент через состояние в непосредственно предыдущий)

Интересно, а в случае непрерывного времени какой момент нужно считать "непосредственно предыдущим"?

[_hum_]

Brukvalub в сообщении #1188062 писал(а):

_hum_ в сообщении #1188039 писал(а):

эволюция системы с непрерывным временем - это изменение состояния системы во времени в случае, когда время рассматривается как непрерывная величина. и?

И это значит, что

dsge в сообщении #1188044 писал(а):

$ F_t$ - (полу)группа отображений, параметризованная $ t \in \mathbb{R}(\mathbb{R_+})$ $ (F_0=I)$.

и это значит, что

_hum_ в сообщении #1188039 писал(а):

это не аналог варианта для дискретного случая (состояние в последующий момент через состояние в непосредственно предыдущий)

Someone в сообщении #1188071 писал(а):

_hum_ в сообщении #1188039 писал(а):

это не аналог варианта для дискретного случая (состояние в последующий момент через состояние в непосредственно предыдущий)

Интересно, а в случае непрерывного времени какой момент нужно считать "непосредственно предыдущим"?

очевидно, в этом и состоит проблема - как содержательно определить аналог закона перехода от "предыдущего состояния" к текущему для непрерывного случая.

например, можно попытаться ввести функционал $F(s_{(t,-\infty]})$ со свойством $F(s_{(-\infty, t)}) = F(s_{(t', t)})$ для всякого $t' < t$, или ввести какое-нибудь естественное расширение числовой прямой, в котором бы у каждого элемента был бы непосредственно предшествующий, и т.п.

[Someone]

Вы хотите странного.

[_hum_]

Someone в сообщении #1188080 писал(а):

Вы хотите странного.

чего ж странного. хочу иметь возможность как-то содержательно перейти от системы с дискретным временем к системе с непрерывным путем увеличения частоты дискретизации (уменьшения расстояния между отсчетами времени).

[Someone]

Может быть, получится дифференциальное уравнение?

[_hum_]

это же очень частный случай. да и все равно ж получится уравнение, а не закон, дающий возможность определять настоящее состояние по предшествующему.

(дело в том, что обычно состояние трактуется как "сжатая" предыстория системы. сам же закон F в таком случае можно трактовать как операцию "инкрементального обновления архива". вот и хочется его записывать в явном виде).

[Someone]

_hum_ в сообщении #1188103 писал(а):

не закон, дающий возможность определять настоящее состояние по предшествующему

Так при непрерывном времени нет никакого "предшествующего" состояния в том смысле, в каком оно понимается в случае дискретного времени. Поэтому и говорю: Вы хотите странного.

А в сторону случайных процессов с непрерывным временем не смотрели?

[_hum_]

Someone, я понимаю, что непосредственно так перенести нельзя. потому и спрашиваю, как это можно было бы сделать. возможно, числовую прямую надо как-нибудь изменить (может, на самом деле она не совсем хорошая модель для реальности), или может дать немного другое понятие самому отображения, как я пытался сделать выше).

ну, кажется неправильным этот качественный скачок при переходе от дискретного к непрерывному. разве нет?

[Brukvalub]

Может, нужно что-то типа этого?