Запись закона эволюции состояния для непрерывного времени

[_hum_]

dsge в сообщении #1188241 писал(а):

_hum_ в сообщении #1188234 писал(а):

требует серьезных ограничений на пространство состояний и зависимость состояния от времени

_hum_
Освойте, для начала, общепринятый язык, хотя бы здесь:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5
До тех пор пока вы говорите на собственном "диалекте", никто не сможет вас понять.

и что не общепринятого я сказал? в общем случае от пространства состояний не требуется быть многообразием, и от фазовых траекторий - быть дифференцируемыми (это отдельная область - гладкие динамические системы).
см. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем, Тема 1. Понятие о динамических системах[pdf]

[arseniiv]

У меня назрел ночью ещё один, уже отвлечённый, пример, связанный с темой. Когда у нас есть вероятностное пространство с конечным множеством элементарных исходов $\Omega$, тоже достаточно более простых определений, чем в общем случае — можно требующуюся обычно $\sigma$-аддитивную меру заменить функцией $p\colon\Omega\to[0;1]$, суммирующейся в единицу, порождающей меру $\Prob(A) = \sum_{\omega\in A} p(\omega)$. Но в общем случае понадобится-таки мера. Так примерно и тут, и во многих случаях.

[demolishka]

_hum_,
если для Вас переход от разностного уравнения к дифференциальному не естественен, то это сугубо Ваши личные проблемы. Действительно, в общих пространствах записать дифференциальное уравнение не получается, но оно и не нужно, потому что эволюцию задает не какое-то уравнение, а семейство отображений --- поток.

[_hum_]

arseniiv, не факт, что такую аналогию можно проводить.

а вообще, вопрос возник вот откуда: я пытаюсь объяснить "детям" теорию автоматического управления системами. а там в сонове закон эволюции таких систем. и вот для дискретного случая - красота - все естественно и понятно. а при переходе к непрерывному предлагается начать грузить их полугруппами, потоками и прочей мат. заумностью.
вот и хотелось другой формулировки, которая бы была с одной стороны естественна для любого человека (а не только для математика), а с другой, могла быть математически сведена при необходимости к потокам и дифф. уравнениям. мне казалось, что мог быть, например, вариант, наподобие
$s_t = F(s_{t-0})$, где $ F(s_{t-0}) ::= F(s_{(t,-\infty]})$ со свойством $F(s_{(-\infty, t)}) = F(s_{(t', t)})$ для всякого $t' < t$.

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #1188292 писал(а):

а при переходе к непрерывному предлагается начать грузить их полугруппами, потоками и прочей мат. заумностью

Да просто не называйте этих слов и всё. Требуется только вот что:
$f\colon T\times S\to S$, $f(0, s) = s$, $f(t, f(t', s)) = f(t + t', s)$. Это же естественно выглядит(?) И «поток» — это просто название вида динамической системы, тут оно даже ни при чём.

_hum_ в сообщении #1188292 писал(а):

мне казалось, что мог быть, например, вариант, наподобие
$s_t = F(s_{t-0})$, где $ F(s_{t-0}) ::= F(s_{(t,-\infty]})$ со свойством $F(s_{(-\infty, t)}) = F(s_{(t', t)})$ для всякого $t' < t$.

А что такое $s_\text{промежуток}$? Просто кусок орбиты?

_hum_ в сообщении #1188292 писал(а):

не факт, что такую аналогию можно проводить.

Ну почему ж не факт — по-моему, это практически точная аналогия. Здесь дискретные динамические системы с возможностью более простого описания, чем для любых, и там конечные вероятностные пространства с ровно той же возможностью, чем для опять же любых.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #1188298 писал(а):

Да просто не называйте этих слов и всё. Требуется только вот что:
$f\colon T\times S\to S$, $f(0, s) = s$, $f(t, f(t', s)) = f(t + t', s)$. Это же естественно выглядит(?) И «поток» — это просто название вида динамической системы, тут оно даже ни при чём.

это не выглядит естественной записью для "состояние в данный момент определяется по стоянию в предыдущий и не зависит от состояний в прошлом"

arseniiv в сообщении #1188298 писал(а):

А что такое $s_\text{промежуток}$? Просто кусок орбиты?

да

arseniiv в сообщении #1188298 писал(а):

Ну почему ж не факт — по-моему, это практически точная аналогия.

потому что в тервере нет общего принципа наподобие "состояние содержит всю информацию о предыстории системы" (а значит, по логике, переход из состояния в состояние не должен зависеть от множества состояний)

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #1188304 писал(а):

это не выглядит естественной записью для "состояние в данный момент определяется по стоянию в предыдущий и не зависит от состояний в прошлом"

А оно и не может, потому что не всегда предыдущий момент определён. Более точным это утверждение будет в виде, например, «каким бы ни были $s_0, s$ такие, что $\exists t>0.\,f(t,s_0) = s$, для любого $0<t'<t$ существует и $s'$ такое, что $f(t',s') = s$». Это должно быть возможным доказать. Однако то, что $f(t-t',s_0) = s'$, отсюда не следует, чтобы заменить этим утверждением определение, так что надо придумать что-то посильнее.

_hum_ в сообщении #1188304 писал(а):

да

И функция переходов определена на орбитах? Если $(t,-\infty]$ выше означает $(-\infty,t)$, то, во-первых, этот промежуток вообще можно исключить из формул и, во-вторых, вы хотя и даёте явную свободу от состояний раньше произвольного, зато заставляете иметь в виду все состояния после. Если требовать только одно прошлое состояние и указывать промежуток времени между ним и интересующим явно, как в обычном задании функции эволюции, это требование сформулируется как $t'<t\Rightarrow f(t,s) = f(t',f(t-t',s)$, откуда рукой подать до обычного.

[_hum_]

arseniiv в сообщении #1188323 писал(а):

И функция переходов определена на орбитах? Если $(t,-\infty]$ выше означает $(-\infty,t)$, то, во-первых, этот промежуток вообще можно исключить из формул и, во-вторых, вы хотя и даёте явную свободу от состояний раньше произвольного, зато заставляете иметь в виду все состояния после.

да,сори. это я просто вначале писал с мыслями "в одну сторону",а потом дописывал "в другую".
на самом деле там должны рассматриваться траектории только из прошлого: $ F(s_{t-0}) ::= F(s_{(-\infty,t)})$ со свойством $F(s_{(-\infty, t)}) = F(s_{(t', t)})$ для всякого $t' < t$.

Цитата:

Если требовать только одно прошлое состояние и указывать промежуток времени между ним и интересующим явно, как в обычном задании функции эволюции, это требование сформулируется как $t'<t\Rightarrow f(t,s) = f(t',f(t-t',s)$, откуда рукой подать до обычного.

ясное дело, что "рукой подать", потому что это практически оно и есть :(

[dsge]

_hum_ в сообщении #1188292 писал(а):

$s_t = F(s_{t-0})$, где $ F(s_{t-0}) ::= F(s_{(t,-\infty]})$ со свойством $F(s_{(-\infty, t)}) = F(s_{(t', t)})$ для всякого $t' < t$.

Может это?
https://en.wikipedia.org/wiki/Delay_differential_equation
См. 1-й Example.

[_hum_]

dsge в сообщении #1188342 писал(а):

Может это?
https://en.wikipedia.org/wiki/Delay_dif ... l_equation

См. 1-й Example.

ага. уже ближе. вот бы еще избавиться от формы дифференциального уравнения...

[dsge]

_hum_ в сообщении #1188349 писал(а):

вот бы еще избавиться от формы дифференциального уравнения

А зачем? В производной вся динамика. Теория есть - теоремы существования и единственности, устойчивость решения по Ляпунову и т.д.

[_hum_]

dsge в сообщении #1188353 писал(а):

А зачем? В производной вся динамика. Теория есть - теоремы существования и единственности, устойчивость решения по Ляпунову и т.д.

потому что, во-первых, это уравнение (а не запись $s_t = F(bla-bla)$), а во-вторых, дифференцируемость - не такое распространенное свойство, чтоб считать его из разряда "не ограничивает общности".

[Red_Herring]

Действительно, бывают специальные случаи, когда удобнее изучать дискретную динамическую систему.

(Пример:)

рассмотрим математический биллиард в области $X$. Есть непрерывная динамическая система $S^*X \ni (x,\xi)\mapsto \Psi_t(x,\xi)\in S^*X$ (куда точка $x$ в начальный момент имевшая скорость $\xi$ и отражающаяся от $\partial X$ по закону "угол падения равен углу отражения" перейдет через время $t$ и есть дискретная система $B^*\partial X\ni (y,\eta)\mapsto \Phi (y,\eta)\in B^*\partial X$: мы восстанавливаем $\eta$ вдоль нормали к $\partial X$ до $\xi \in S^*\partial X$, затем двигаемся со скоростью $\xi $ до первого следующего пересечения с $\partial X$, получаем $(y,\xi) $, и проектируем $\xi$ на $B^*\partial X$.

Но в общем случае переход к дискретному времени представляется малоосмысленным.

[dsge]

_hum_ в сообщении #1188304 писал(а):

в тервере нет общего принципа наподобие "состояние содержит всю информацию о предыстории системы"

В теорвере есть понятие поток сигма-алгебр, который именно для этого и служит.

_hum_ в сообщении #1188349 писал(а):

вот бы еще избавиться от формы дифференциального уравнения

Нет проблем:

$$\frac{ds_t}{dt} = F(s_{t-0})$$

$$s_{t+\Delta t} \approx s_{t} + F(s_{t-0})\Delta t$$

[_hum_]

Цитата:

_hum_ в сообщении #1188349 писал(а):

вот бы еще избавиться от формы дифференциального уравнения

Нет проблем:

$$\frac{ds_t}{dt} = F(s_{t-0})$$

$$s_{t+\Delta t} \approx s_{t} + F(s_{t-0})\Delta t$$

есть проблемы - вы делаете существенное предположение, что состояние меняется пропорционально времени.