2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Первые 10 цифр после запятой
Сообщение27.01.2017, 01:23 
Здравствуйте, пришла такая задача:
Вычислите первые 10 цифр после запятой в числе $(1+\sqrt{3})^{2048}$

Единственное что пришло в голову - попытаться раскрыть скобки, что дает
$$(1+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt{3}$$, где
$$a_{n}=a_{n-1}+3b_{n-1}$$
$$b_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}$$
$$a_1=b_1=1$$
Но, кажется, это не очень помогает, т.к. $b_n$ очень быстро становятся слишком большими числами для калькулятора

Не подскажете, каким способом можно решить эту задачу?

 
 
 
 Re: Первые 10 цифр после запятой
Сообщение27.01.2017, 01:54 
Аватара пользователя
Sergey Melnikov в сообщении #1187665 писал(а):
Вычислите первые 10 цифр после запятой в числе $(1+\sqrt{3})^{2048}$
А сможете вычислить первые 10 цифр после запятой в числе $(\sqrt{3}-1)^{2048}$?

 
 
 
 Re: Первые 10 цифр после запятой
Сообщение27.01.2017, 02:15 
grizzly в сообщении #1187673 писал(а):
Sergey Melnikov в сообщении #1187665 писал(а):
Вычислите первые 10 цифр после запятой в числе $(1+\sqrt{3})^{2048}$
А сможете вычислить первые 10 цифр после запятой в числе $(\sqrt{3}-1)^{2048}$?


Кажется все первые 10 цифр будут нулями, т.к. $(\sqrt{3}-1)$ меньше $1$
Спасибо, кажется понял Вашу подсказку - если домножить и поделить $(1+\sqrt{3})^{2048}$ на $(\sqrt{3}-1)^{2048}$, то в числителе будет $2^{2048}$, а в знаменателе это очень маленькое число.
Единственное - простите если слишком туплю - не смог понять, почему, поделив $2^{2048}$ на такое число, мы гарантированно получим после запятой первые 10 нулей (или это неверный вывод?)

 
 
 
 Re: Первые 10 цифр после запятой
Сообщение27.01.2017, 02:23 
Надо не поделить, а сложить.

 
 
 
 Re: Первые 10 цифр после запятой
Сообщение27.01.2017, 02:33 
venco в сообщении #1187679 писал(а):
Надо не поделить, а сложить.


Спасибо, разобрался! Красиво получается

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group