Первые 10 цифр после запятой

[Sergey Melnikov]

Здравствуйте, пришла такая задача:
Вычислите первые 10 цифр после запятой в числе $(1+\sqrt{3})^{2048}$

Единственное что пришло в голову - попытаться раскрыть скобки, что дает

$$(1+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt{3}$$

, где

$$a_{n}=a_{n-1}+3b_{n-1}$$

$$b_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}$$

$$a_1=b_1=1$$

Но, кажется, это не очень помогает, т.к. $b_n$ очень быстро становятся слишком большими числами для калькулятора

Не подскажете, каким способом можно решить эту задачу?

[grizzly]

Sergey Melnikov в сообщении #1187665 писал(а):

Вычислите первые 10 цифр после запятой в числе $(1+\sqrt{3})^{2048}$

А сможете вычислить первые 10 цифр после запятой в числе $(\sqrt{3}-1)^{2048}$?

[Sergey Melnikov]

grizzly в сообщении #1187673 писал(а):

Sergey Melnikov в сообщении #1187665 писал(а):

Вычислите первые 10 цифр после запятой в числе $(1+\sqrt{3})^{2048}$

А сможете вычислить первые 10 цифр после запятой в числе $(\sqrt{3}-1)^{2048}$?

Кажется все первые 10 цифр будут нулями, т.к. $(\sqrt{3}-1)$ меньше $1$
Спасибо, кажется понял Вашу подсказку - если домножить и поделить $(1+\sqrt{3})^{2048}$ на $(\sqrt{3}-1)^{2048}$, то в числителе будет $2^{2048}$, а в знаменателе это очень маленькое число.
Единственное - простите если слишком туплю - не смог понять, почему, поделив $2^{2048}$ на такое число, мы гарантированно получим после запятой первые 10 нулей (или это неверный вывод?)

[venco]

Надо не поделить, а сложить.

[Sergey Melnikov]

venco в сообщении #1187679 писал(а):

Надо не поделить, а сложить.

Спасибо, разобрался! Красиво получается