Движение в метрике Керра

[realeugene]

SergeyGubanov в сообщении #1187270 писал(а):

Однако, существуют (и их подавляющее большинство) системы отсчёта, в которых бесконечно малый интервал времени полным дифференциалом не является, а является дифференциальной формой:

Что такое в этом случае "система отсчёта", если это не координаты на какой-то карте какого-то атласа, покрывающего многообразие?

[Someone]

realeugene, посмотрите Ландау и Лифшица, том II, § 84.

[Erleker]

SergeyGubanov в сообщении #1187270 писал(а):

Erleker, Вы говорите про системы отсчёта в которых бесконечно малый интервал времени является полным дифференциалом:

$$ \tau = dT, \qquad dT \equiv \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu}. $$

Я знаю,он таков только в синхронных СО.Но я говорил вообще.
Можно же локально перейти к прямоугольным координатам для данной СО:
$ds^2=c^2dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2$
$cdT=\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}}$
$dX^2+dY^2+dZ^2=(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00})dx^adx^b$
(тут $a,b=1,2,3$)
(Если ли хотите формальностей, можно поставить перед всеми $g_{ik}$ скобку $)x=x_{0}$ и будет нормальное преобразование с существующей функцией $T(x^i)$)
Одну из осей $Y$ направляем так, как надо по условию.
Переходим и находим скорость по этим осям.
Это хоть, может и долго считать, но ясно, как делать.
Как делать через тетрады( что тоже самое, только по иному написанное) - мне не ясно.То есть как вы подберете нужные $e_{(a)}^{i}$ ?

[SergeyGubanov]

Erleker в сообщении #1187303 писал(а):

Как делать через тетрады( что тоже самое, только по иному написанное) - мне не ясно.То есть как вы подберете нужные $e_{(a)}^{i}$ ?

Это процесс ортогонализации.

Четырёхскорость $u^{\mu}$ считаем величиной заданной. Она удовлетворяет соотношению:

$$ g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1. \eqno(1) $$

Пишем

$$ e_{(0)}^{\mu} = u^{\mu}. \eqno(2) $$

Теперь нам надо найти $e_{(1)}^{\mu}$. Он удовлетворяет следующим уравнениям:

$$ g_{\mu \nu} e_{(0)}^{\mu} e_{(1)}^{\nu} = 0, \eqno(3.1) $$

$$ g_{\mu \nu} e_{(1)}^{\mu} e_{(1)}^{\nu} = -1. \eqno(3.2) $$

Решаем систему уравнений (3) и находим некоторый $e_{(1)}^{\mu}$.

А теперь нам надо найти $e_{(2)}^{\mu}$. Он удовлетворяет следующим уравнениям:

$$ g_{\mu \nu} e_{(0)}^{\mu} e_{(2)}^{\nu} = 0, \eqno(4.1) $$

$$ g_{\mu \nu} e_{(1)}^{\mu} e_{(2)}^{\nu} = 0, \eqno(4.2) $$

$$ g_{\mu \nu} e_{(2)}^{\mu} e_{(2)}^{\nu} = -1. \eqno(4.3) $$

Решаем систему уравнений (4) и находим некоторый $e_{(2)}^{\mu}$.

И наконец, нам надо найти $e_{(3)}^{\mu}$. Он удовлетворяет следующим уравнениям:

$$ g_{\mu \nu} e_{(0)}^{\mu} e_{(3)}^{\nu} = 0, \eqno(5.1) $$

$$ g_{\mu \nu} e_{(1)}^{\mu} e_{(3)}^{\nu} = 0, \eqno(5.2) $$

$$ g_{\mu \nu} e_{(2)}^{\mu} e_{(3)}^{\nu} = 0, \eqno(5.3) $$

$$ g_{\mu \nu} e_{(3)}^{\mu} e_{(3)}^{\nu} = -1. \eqno(5.4) $$

Решаем систему уравнений (5) и находим некоторый $e_{(3)}^{\mu}$.

Найденные $e_{(1)}^{\mu}$, $e_{(2)}^{\mu}$, $e_{(3)}^{\mu}$ ещё можно $\mathbf{O}(3)$-подкрутить по вкусу.

-- 25.01.2017, 16:09 --

Erleker, да кстати, то что я пишу и то что Вы пишите - это не тоже самое. В моём случае четырёхскорость системы отсчёта $u^{\mu}$ - совершенно произвольная, а в Ваших формулах четырёхскорость системы отсчёта жёстко привязана к используемой системе координат: $u^{\mu} = g^{0 \mu} / \sqrt{g^{ 0 0}}$. То есть в моих формулах система отсчёта и система координат друг с другом не связаны.

[realeugene]

Someone в сообщении #1187288 писал(а):

realeugene, посмотрите Ландау и Лифшица, том II, § 84.

Спасибо.

SergeyGubanov в сообщении #1187270 писал(а):

Однако, существуют (и их подавляющее большинство) системы отсчёта, в которых бесконечно малый интервал времени полным дифференциалом не является, а является дифференциальной формой:

$$ \tau = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}. $$

Но систему отсчёта мы строили исходя из континуума наблюдателей. Значит, эта квадратичная форма будет максимальна вдоль 4-скорости наблюдателя? И то, что это не полный дифференциал, существенно только для достаточно больших контуров обхода? Но с тем же успехом все углы направления скорости тела в точке можно было бы как-то найти в локально-инерциальной системе отсчёта одного наблюдателя в этой точке?

[Erleker]

SergeyGubanovСпасибо, я теперь понял,что это вы ищете не привязанную к СК локально-галилеевы координаты, а "привязываете" их к движущемуся наблюдателю, зная его 4 - скорость (не обратил внимание на начало).
Но ведь все равно как-то долго решать такую систему уравнений.
Да и решения то еще с параметром для 3-пространства:

SergeyGubanov в сообщении #1187312 писал(а):

Найденные $e_{(1)}^{\mu}$, $e_{(2)}^{\mu}$, $e_{(3)}^{\mu}$ ещё можно $\mathbf{O}(3)$-подкрутить по вкусу.

SergeyGubanov в сообщении #1187312 писал(а):

Erleker, да кстати, то что я пишу и то что Вы пишите - это не тоже самое. В моём случае четырёхскорость системы отсчёта $u^{\mu}$ - совершенно произвольная, а в Ваших формулах четырёхскорость системы отсчёта жёстко привязана к используемой системе координат:

Да, естественно пространственные координатные оси $X,Y,Z$ у меня "покоятся"(не зависят от $x^0$) в данной СК. Я полагал, что $g_{ik}$ - это метрический тензор для СО, в которой нужный наблюдатель покоится. (Я не решал задачу полностью, а просто говорил о скорости.Ну, я думаю, вы поняли, что я имел ввиду.)
А так (решая задачу для наблюдателя в другой СК (где он движется произвольно) можно посчитать скорость тела там, а потом локально воспользоваться преобразованиями Лоренца ( направив одну из осей по скорости).

SergeyGubanov в сообщении #1187312 писал(а):

$u^{\mu} = g^{0 \mu} / \sqrt{g^{ 0 0}}$

Не понял, откуда такое?У меня этого нет.
Локальный наблюдатель у меня в покое: $u^i=(1,0,0,0)$

[SergeyGubanov]

Erleker в сообщении #1187326 писал(а):

Локальный наблюдатель у меня в покое: $u^i=(1,0,0,0)$

Такой вектор, вообще говоря, не удовлетворяет соотношению $g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1$ при произвольном $g_{\mu \nu}$, то есть не является четырёхскоростью какого-либо наблюдателя.

Erleker в сообщении #1187326 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1187312 писал(а):

$u^{\mu} = g^{0 \mu} / \sqrt{g^{ 0 0}}$

Не понял, откуда такое? У меня этого нет.

Связь контравариантных компонент трёхмерной метрики $\gamma^{\mu \nu}$, четырёхскорости системы отсчёта $u^{\mu}$ и четырёхмерной метрики $g^{\mu \nu}$:

$$ g^{\mu \nu} = u^{\mu} u^{\nu} - \gamma^{\mu \nu} \eqno(1) $$

Сравниваем формулу (1) с Вашей формулой (взятой из ЛЛ2):

$$ \gamma^{i j} = \frac{g^{0 i} g^{0 j}}{g^{00}} - g^{i j} \eqno(2) $$

Получаем, что при выводе формулы (2) использовалась система отсчёта имеющая следующую четырёхскорость:

$$u^{\mu} = \frac{ g^{0 \mu} }{ \sqrt{g^{ 0 0}} }. \eqno(3)$$

Чтобы было более понятно, запишу формулу (1) в чуть более подробном виде

$$ g^{\mu \nu } = \eta^{(a)(b)} e^{\mu}_{(a)} e^{\nu}_{(b)} = e^{\mu}_{(0)} e^{\nu}_{(0)} - \left( e^{\mu}_{(1)} e^{\nu}_{(1)} + e^{\mu}_{(2)} e^{\nu}_{(2)} + e^{\mu}_{(3)} e^{\nu}_{(3)} \right) = u^{\mu} u^{\nu} - \gamma^{\mu \nu}, \eqno(1') $$

$$ e^{\mu}_{(0)} = u^{\mu}, \eqno(1'') $$

$$ \gamma^{\mu \nu} = e^{\mu}_{(1)} e^{\nu}_{(1)} + e^{\mu}_{(2)} e^{\nu}_{(2)} + e^{\mu}_{(3)} e^{\nu}_{(3)}. \eqno(1''') $$

[Erleker]

SergeyGubanov в сообщении #1187345 писал(а):

Такой вектор, вообще говоря, не удовлетворяет соотношению $g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1$ при произвольном $g_{\mu \nu}$, то есть не является четырёхскоростью какого-либо наблюдателя.

Ну конечно $u^i=(1/\sqrt{g_{00}},0,0,0)$, просто единицу я сдуру написал .
Я это писал к тому что приборы локального наблюдателя у меня покоятся в $x^i$:
$cdT=\sqrt{g_{00}}dx^0+g_{0a}dx^a/\sqrt{g_{00}}$
$dl^2=dX^2+dY^2+dZ^2=(-g_{ab}+g_{0a}g_{0b}/g_{00})dx^adx^b$
Тут $dl$ не зависит от $dx^0$.

SergeyGubanov в сообщении #1187345 писал(а):

Связь контравариантных компонент трёхмерной метрики $\gamma^{\mu \nu}$, четырёхскорости системы отсчёта $u^{\mu}$ и четырёхмерной метрики $g^{\mu \nu}$:

$$ g^{\mu \nu} = u^{\mu} u^{\nu} - \gamma^{\mu \nu} \eqno(1) $$

Сравниваем формулу (1) с Вашей формулой (взятой из ЛЛ2):

$$ \gamma^{i j} = \frac{g^{0 i} g^{0 j}}{g^{00}} - g^{i j} \eqno(2) $$

Получаем, что при выводе формулы (2) использовалась система отсчёта имеющая следующую четырёхскорость:

$$u^{\mu} = \frac{ g^{0 \mu} }{ \sqrt{g^{ 0 0}} }. \eqno(3)$$

Что-то не то, мне кажется, вы пишите.Согласился бы я вами, если бы индексы были внизу.
Скорость наблюдателя у меня:
$u^i=(1/ \sqrt{g_{00}},0,0,0)$
$u_{i}=g_{0i}/\sqrt{g_{00}$

[KVV]

SergeyGubanov
Насколько я понял, вы вывели значение физической скорости произвольного тела относительно произвольного наблюдателя? Но ведь стоит вопрос вычислить направление вектора $\mathbf{n}$ относительно сферического базиса из трех векторов $\lbrace \mathbf{e_{\hat{r}}},\mathbf{e_{\hat{\theta}}},\mathbf{e_{\hat{\phi}}} \rbrace$, которые направлены вдоль координатных линий Бойера-Линдквиста в точке текущего положения наблюдателя. В т.ч. в эргосфере, где физическая скорость становится больше единицы и теряет смысл, но я надеюсь не теряет смысл угол между базисами $\lbrace \mathbf{e_x},\mathbf{e_y},\mathbf{e_z} \rbrace$ и $\lbrace \mathbf{e_{\hat{r}}},\mathbf{e_{\hat{\theta}}},\mathbf{e_{\hat{\phi}}} \rbrace$.

[SergeyGubanov]

KVV, в разных системах отсчёта трёхмерные векторы разные. Вам нужно определиться с выбором (четырёхмерной) системы отсчёта, только после этого можно будет говорить про трёхмерные величины.

Физическая скорость никогда не может быть больше единицы:

$$ |v| = \sqrt{1 - \frac{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \frac{dx^{\nu}}{ds} }{ \left( e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \right)^2 } } \le 1 $$

Erleker, четырёхскорость системы отсчёта используемой в ЛЛ2 (контра и ко-вариантные компоненты):

$$ u^{\mu} = \frac{g^{0 \mu}}{ \sqrt{g^{0 0}} }, \quad u_{\mu} = \frac{g_{0 \mu}}{ \sqrt{g_{0 0}} }. $$

[KVV]

SergeyGubanov в сообщении #1187387 писал(а):

KVV, в разных системах отсчёта трёхмерные векторы разные. Вам нужно определиться с выбором (четырёхмерной) системы отсчёта, только после этого можно будет говорить про трёхмерные величины.

Физическая скорость никогда не может быть больше единицы:

Ок, это все ясно. Как вычислить направление движения наблюдателя в эргосфере?

[SergeyGubanov]

KVV в сообщении #1187390 писал(а):

Ок, это все ясно. Как вычислить направление движения наблюдателя в эргосфере?

Сначала надо указать относительно какой системы отсчёта $e^{\mu}_{(a)}$ Вы хотите найти направление движения, затем применить формулы:

SergeyGubanov в сообщении #1187100 писал(а):

Пусть теперь некое тело движется по некоторой времени-подобной кривой $x^{\mu}(s)$, тогда компоненты трёхмерной скорости этого тела $v^{(1)}$, $v^{(2)}$, $v^{(3)}$ относительно системы отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ таковы:

$$v^{(1)} = \frac{ e^{(1)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }, \quad v^{(2)} = \frac{ e^{(2)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }, \quad v^{(3)} = \frac{ e^{(3)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }{ e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} }, \eqno(4)$$

$$ |v| = \sqrt{ \left( v^{(1)} \right)^2 + \left( v^{(2)} \right)^2 + \left( v^{(3)} \right)^2 } = \sqrt{1 - \frac{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \frac{dx^{\nu}}{ds} }{ \left( e^{(0)}_{\mu} \frac{dx^{\mu}}{ds} \right)^2 } } \eqno(5) $$

Искомый Вами единичный трёхмерный вектор $\mathbf{n}$ в системе отсчёта $e^{(a)}_{\mu}$ имеет следующие компоненты:

$$ \mathbf{n} = \frac{1}{|v|} \left\{ v^{(1)}, v^{(2)}, v^{(3)} \right\} \eqno(6) $$

[KVV]

SergeyGubanov в сообщении #1187398 писал(а):

Сначала надо указать относительно какой системы отсчёта $e^{\mu}_{(a)}$

Ок. : )
Пусть это будет наблюдатель, жестко привязанный к координатной сетке Бойера-Линдквиста в эргосфере, т.е. движущийся по пространственноподобной траектории. В этом случае ваши формулы сработают?

[SergeyGubanov]

KVV, требование предъявляемое к четырёхскорости $u^{\mu}$ системы отсчёта

$$ g_{\mu \nu} u^{\mu} u^{\nu} = 1 $$

совершенно необходимо. По-другому нельзя. По-другому, это вообще не четырёхскорость.

[Erleker]

SergeyGubanov в сообщении #1187387 писал(а):

Erleker, четырёхскорость системы отсчёта используемой в ЛЛ2 (контра и ко-вариантные компоненты):

$$ u^{\mu} = \frac{g^{0 \mu}}{ \sqrt{g^{0 0}} }, \quad u_{\mu} = \frac{g_{0 \mu}}{ \sqrt{g_{0 0}} }. $$

C этой формулой-то я согласен:

$$ u_{\mu}=\frac{g_{0 \mu}}{ \sqrt{g_{0 0}} } $$

Но при этом:

$$u^{\mu}=(1/\sqrt{g_{00}},0,0,0)$$

Вы неправильно поднимаете-опускаете индекс.