Простая задачка по квантовой механике

[Founder_Q]

-Признателен всем тем участникам дискуссии, которые смотрят на поставленный вопрос с точки зрения: "все не так просто"(независимо от их аргументации): вы интуитивно правильно понимаете квантовую механику. Однако, все же, вся дискуссия по этому вопросу - с одной стороны, и , с другой стороны, большая методическая методическая важность правильного понимания этой задачи, как яркого примера применения фундаментальных квантовомеханических концепций - побудили меня написать ниже подробный "педагогический" разбор всего, что происходит в такой системе, что означает идеология теории возмущений в данном случае, почему так важно эту идеологию использовать в данном случае и почему приведенное автором задачи pvp выражение - в принципе не может быть "точным решением" этой квантовомеханической задачи.

-Итак,

"Краткая лекция об особенностях квантовой динамики системы под действием зависящего от времени скачкообразного изменения ее гамильтониана."

Автор задачи, pvp, стал жертвой странного заблуждения или непонимания самых фундаментальных основ квантовой механики, поскольку задача, которую он формулирует, является абсолютно стандартной для квантовой механики и решается только приближенно, методом теории возмущений (см. напр. разделы: "Возмущения, зависящие от времени ", "Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени", "Соотношение неопределенностей для энергии" в т.3 Ландау-Лифшица , или, аналогичные разделы в любом другом курсе квантовой механики, можно напр. посмотреть вывод формулы для Fermi golden rule Sudden approximation в курсе Berkeley). Применительно к данной задачке с кусочно-постоянной функцией $B(t)$, возмущением зависящим от времени является следующая часть гамильтониана: $V(t)=(B(t)-1)H_0$, где функция:$B(t)$ - кусочно-постоянна и испытывает скачок в момент времени: $t=t_0$. Соответственно этому, условие , при котором приближенное решение задачи вообще существует, будет следующим:

$V(t)=(B(t)-1)H_0<<H_0$ (1)

, неравенство (1) нужно понимать в смысле собственных значений соответствующих операторов. Или, учитывая определение кусочно-постоянной функции $B(t)$, условие (1) можно записать просто в виде ограничения на "высоту" $V=(A-1)$скачка функции $B(t)$ :

$V=(A-1)<<1$ (2)

Если же условия (1, 2) применения теории возмущений - не выполняются, то можно математически строго показать, что, определяющие в этом случае эволюцию системы, высшие порядки в разложении Дайсона для точного оператора эволюции системы $U(t;0)$ будут полностью неопределенными из-за больших вкладов во временные интегралы от интервалов неопределенности гамильтониана системы "в момент" его скачкообразного изменения.

Для этого можно заметить, во-первых , что время - непрерывная, а не дискретная переменная, следовательно, правильно говорить не о точках, а об интервалах определения функции $B(t)$. Далее, очевидно, что функция $B(t)$ - не определена в малой $\delta$-окрестности ($\delta=\delta t \to 0$) точки $t_0$, где $\frac{dB(t)}{dt}\to\infty$ и, соответственно, значение $B(t+\delta t)=B(t)+\frac{dB(t)}{dt}\delta t$ - в любой точке внутри интервала $\delta t$ - не определено, т.е. функция $B(t)$ там не дифференцируема. А это автоматически означает, что в каждом интеграле по $dt$ от 0 до $t$ обязательно будет неопределенный вклад , пропорциональный $\delta t$. И если в низших порядках разложения Дайсона для $U(t;0)$ вполне можно пренебречь вкладом этих неопределенностей , т.к. он порядка $\frac{\delta t}{t}\to 0$ по отношению к вкладу в интеграл от всего интервала $(0;t)$, то в высших порядках , когда $k>>1$, какой бы большой порядок $k$ мы не взяли , для него всегда найдется свой $n>>k>>1$, такой что, при $\delta t\sim\frac{1}{n}$ ($n>>1$) отношение $\left\lbrace1-\frac{1}{n}\right\rbrace^k$ вклада интервала неопределенности $B(t)$ по отношению к вкладу в этот $k$-ый порядок от всех временных интервалов $(0;t)$ - будет стремиться уже не к $0$ , а к $1$. Тогда если возмущение $V(t)$ будет достаточно велико , то вклад всех высших порядков в разложение Дайсона будет определяющим и, соответственно из-за полной неопределенности этих высших порядков , полностью неопределенным станет и весь точный оператор эволюции системы $U(t;0)$ , а значит , точное решение поставленной задачи в этом случае в виде какого-то точного оператора эволюции - также будет не определено. Вот, собственно, поэтому все подобные задачи решаются только в теории возмущений по малому параметру (1,2).

Иными словами, можно сказать, что время , в течение которого в системе может произойти скачок ее гамильтониана - это всегда некий временной интервал (на практике, разумеется, всегда конечный, в силу конечности скорости передачи сигнала , т.е. скорости света, а также конечной скорости работы всех "макроскопических" переключателей и пр. обеспечивающих этот скачок). Но это означает, что абсолютно во всех случаях, всегда существует какой-то отрезок временной эволюции квантовой системы, на котором ее гамильтониан существенно и резко (т.е. неадиабатически) меняется. Очевидно, что теоретический аппарат квантовой механики не в состоянии описать временную эволюцию квантовой системы на этом этапе. Ведь конкретный характер такой временной эволюции попросту неизвестен и не может быть описан динамически в рамках квантовой механики, точно так же, как в ней принципиально не может быть описан коллапс волновой функции в результате любого проективного (т.е. осуществленного макроскопическим "прибором") измерения квантовой системы, или например, "детали" квантовых переходов электрона в атоме. Во всех этих случаях, все что делает квантовая механика - она констатирует, что тот, или иной переход в то, или иное квантовое состояние - произошел , или может произойти , и вычисляет по определенным правилам вероятности этих переходов. Но никому, в здравом уме, не придет в голову пытаться выписать "оператор эволюции квантового скачка" (или "оператор эволюции проективного измерения"). Между тем, сделать именно это - предлагает автор задачи, pvp, выписывая свой "оператор эволюции" $U_pvp(t;0)$ в качестве решения этой задачи с, по сути, тем же "квантовым скачком" гамильтониана системы!

-Пытаться проделать такое, это все равно, что пытаться точно сказать в каком именно квантовом состоянии данная квантовая система находится "в процессе" своего квантового скачка (или в процессе проективного измерения над ней.) В то же время, выдавать за "точный оператор эволюции системы" простую "сшивку" операторов квантовой эволюции системы "до" и "после" ее квантового скачка, по меньшей мере, просто безграмотно, поскольку абсолютно неизвестно (и принципиально не может быть известно!) как именно менялось со временем состояние квантовой системы "на протяжении" скачка ее гамильтониана, а значит, тот самый, наиболее определяющий отрезок эволюции квантовой системы, который, собственно говоря, и привел, в действительности, эту систему, от состояния с гамильтонианом $H_0$, к состоянию с гамильтонианом $H=H_0+V(t)$ - и который нам принципиально не известен - этот отрезок при такой "сшивке" - попросту "руками выбрасывается" из временной эволюции данной квантовой системы, так как будто его и не было! -Как можно делать "точным начальным условием" для эволюции системы "после" скачка - ее квантовое состояние непосредственно "перед" этим скачком? - А куда делась все то, что происходило с квантовой системой между этими двумя моментами времени? - Как же может такое быть, что все эти, абсолютно недетерминированные изменения квантового состояния системы, которые, собственно, и изменили ее настолько за этот ничтожный промежуток времени, что она перестала описываться гамильтонианом $H_0$ и стала описываться гамильтонианом $H=H_0+V(t)$ - как может быть, что все эти кардинальные изменения, будучи, по сути, частью эволюции системы, "не оставили никакого следа" в ее "истинном" операторе эволюции, задающим правильные начальные условия для эволюции системы после скачка гамильтониана? - Очевидно, что "точный оператор квантовой эволюции системы со скачком гамильтониана" - это просто некий нелепый оксюморон! Поэтому $U_pvp(t;0)$ - в принципе, не может быть точным решением поставленной задачи.

(Несколько слов по поводу предельного случая "ультра-больших" скачков гамильтониана системы, напр. при резком и сильном увеличении "управляющего" внешнего поля (как напр. в случае спиновых систем во внешнем магнитном поле). С самого начала, в этом случае интуитивно ясно, что слишком большой скачок гамильтониана - будет соответствовать просто очень большой порции энергии, мгновенно закачиваемой в систему. Но в результате, все что произойдет это то, что данная система просто перестанет быть "квантовой", став "классической", так что в этом случае все квантовомеханические способы ее теоретического описания уже могут быть заменены значительно более простой классической физикой (как например, во всех случаях "жесткой" ориентации спинов в направлении магнитного поля в сильных магнитных полях).

На более строгом теоретическом уровне, можно показать, например, используя идеологию фейнмановских интегралов по траекториям, что, поскольку вклад в действие системы от такого гигантского "скачка" ее гамильтониана - будет огромен по сравнению с $\hbar$ , а действие - это просто фаза пропагатора системы (т.е. ее оператора эволюции) "вдоль конкретной траектории" в пространстве-времени, соответствующей этому значению действия, то любые изменения фаз пропагаторов (т.е. их "вариации"), связанные с любыми "отклонениями" от единственной оптимальной , т.е. "классической" траектории системы - также будут гигантскими, т.е. такие отклонения поведения системы от "классики" будут связаны с сильными осцилляциями квантовых амплитуд соответствующих вероятностей, и, соответственно , такие "отклонения" будут сильно подавлены. В результате, система начнет "вести себя" , в целом, как "классическая" (т.е. полностью детерминированно), но, возможно, с какими-то небольшими квантовыми "поправками", связанными с остающимися малыми отклонениями от ее классического поведения - т.е. с малыми квантовыми флуктуациями.

Примером всего этого может служить , скажем, цепочка взаимодействущих спинов в сильном магнитном поле: В целом при низких температурах, это "существенно квантовая" система с сильным взаимодействием. Однако, если мы начнем увеличивать внешнее постоянное магнитное поле в ней (аналог нашего "скачка"), то, при достаточно большой величине изменения этого внешнего поля - конечный результат для системы будет одним и тем же при любом режиме включения этого постоянного поля - все спины просто будут "заморожены" строго в направлении магнитного поля: так, как будто бы, мы имеем дело не с квантовым объектом - спином, а с его классическим аналогом - макроскопическим магнитным моментом.
-Однако, очевидно, что рассмотрение такого режима "ультра-сильных" скачков гамильтониана в данном случае лишено смысла, т.к. в этом случае изучаемая квантовая система , по сути, разрушается, так что квантовомеханический язык ее описания просто теряет смысл по сравнению с языком "классики". Поэтому мы не будем рассматривать этот случай. А поскольку "промежуточный" случай возмущений достаточно сильных, но при этом не сильно разрушающих квантовую когеренцию в системе, не поддается теоретическому анализу, ниже мы рассмотрим единственный решаемый и наиболее важный в приложениях случай резких скачков гамильтониана системы с достаточно малой амплитудой. О конкретных критериях этой малости см.ниже.)

Легко видеть, что даже в рамках теории возмущений, т.е. при выполнении условий (1,2) общее (теперь уже приближенное) решение поставленной задачи некорректно записывать в виде, предложенном pvp, т.е. в виде $U_pvp(t;0)=\exp\left\lbrace-i\varepsilon_n\int\limits_{0}^{t}B(s)ds\right\rbrace$. Причина этого в следующем важном свойстве:

- По условию поставленной задачи, при $t>>0$ гамильтониан системы по-прежнему постоянен (после скачка) и равен:$H=H_0+V$, где "возмущение" $V=(A-1)H_0$ - есть просто "высота" скачка гамильтониана в момент $t=0$. Но тогда, при $t>>0$ временное уравнение Шредингера: $i\frac{\partial \left \left\lvert \psi(t)\right\rangle}{\partial t}=H\left\lvert \psi(t)\right\rangle$ - а, значит, и любое его точное решение в этот момент времени -должно обладать инвариантностью по отношению к обращению времени (с одновременным комплексным сопряжением) (это - фундаментальная симметрия для динамики любых квантовых систем с постоянным гамильтонианом и поэтому она должна выполняться и в этой задаче в пределе $t>>0$), т.е. $ \left\lvert \psi(-t)\right\rangle=\left\lvert \psi^{\ast}(t)\right\rangle$ . Отсюда следует, что точный (или правильно приближенный, по теории возмущений ) оператор эволюции данной квантовой системы при $t>>0$ должен удовлетворять условию:

$U(-t;0)=U^{\ast} (t;0)$ (3)

- выполнение этого условия будет критерием того, что найденный каким-то образом (точно или приближенно) оператор $U(t;0)$ -правильно описывает квантовую динамику данной квантовой системы.

- Очевидно, что выражение $U_pvp(t;0)$, предложенное автором задачи, pvp в качестве "точного" решения этой задачи, не удовлетворяет условию (3), т.е.

$U_pvp(-t;0)\ne U^{*}_pvp(t;0)$, (4)

-просто в силу того , что, входящая в фазу $U_pvp(t;0)$, подынтегральная кусочно-постоянная функция $B(t)$ - определена таким образом на всей оси $(-\infty;t)$, что явно нарушает инвариантность относительно обращения времени (или, что то же самое , трансляционную инвариантность по времени), т.к.

$B(-t;0)\ne B^{*}(t;0)$. (5)

Однако, рассматривая, как малое возмущение (в силу выполнения условий (1,2)) оператор $V(t)=(B(t)-1)H_0$ в правой части бесконечного разложения Дайсона для точного оператора эволюции системы $U(t;0)$ в представлении взаимодействия по $V(t)$ (и, приравнивая для простоты: $t_0=0$) и ограничиваясь в этом разложении членами до 2-го порядка включительно, после интегрирования по времени, будем иметь приближенно (в силу выполнения условий(1,2))

$U(t;0)\approx U_s(t;0)=\left\lbrace 1 - i \frac{Vt }{\hbar}- \left\lbrace\frac{Vt}{2\hbar}\right\rbrace^2 \right\rbrace$ (6)

где: $V=(A-1)<<1$ Очевидно, найденный нами по теории возмущений приближенный оператор эволюции $U_s(t;0)$ из выражения (6) - удовлетворяет условию (3), т.е. найденное нами таким образом решение задачи обладает требуемой симметрией относительно обращения времени и, следовательно, правильно описывает эволюцию квантовой системы под действием малого скачкообразного изменения ее гамильтониана

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

Соответственно этому, условие , при котором приближенное решение задачи вообще существует, будет следующим:

А зачем здесь вообще нужно приближённое решение, если точное уже найдено?

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

это - фундаментальная симметрия для динамики любых квантовых систем с постоянным гамильтонианом

С постоянным -- да. С кусочно постоянным -- нет.

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

поэтому она должна выполняться и в этой задаче в пределе $t>>0$

Разумеется, нет. Хотя бы потому что локальными возмущениями гамильтониана можно добиться фазового сдвига, который на бесконечности никуда не исчезнет.

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

Очевидно, что выражение $U_pvp(t;0)$, предложенное автором задачи, pvp в качестве "точного" решения этой задачи, не удовлетворяет условию (3), т.е.

$U_pvp(-t;0)\ne U^{*}_pvp(t;0)$, (4)

Тот факт, что решение точное, проверяется прямым вычислением. Симметрией оно обладать не обязано, потому что даже гамильтониан ей не обладает.

[Founder_Q]

"Краткая лекция об особенностях квантовой динамики системы под действием зависящего от времени скачкообразного изменения ее гамильтониана." (Окончание. Первую часть см. выше )

Пользуясь найденным приближенным выражением (6) для оператора эволюции системы, легко найти различные амплитуды вероятностей , а значит, и сами вероятности различных квантовых состояний системы (и вероятности переходов между ними) в зависимости от времени.

В частности, если, например, диагональный (недиагональных в нашем случае просто нет) матричный элемент оператора возмущения $V(t)$ по собственным (ортонормированным) векторам состояния $\left\lvert 0;n\right\rangle$=$\left\lvert i\right\rangle$ невозмущенного гамильтониана $H_0$ в представлении взаимодействия по $V(t)$ равен: $\left\langle i\right\rvert V(t)\left\lvert i\right\rangle=V=(A-1)<<1$ , то амплитуда перехода между состояниями $\left\lvert i \right\rangle$ и $\left\lvert f\right\rangle$ (или обратно) будет равна (приближенно, в рамках теории возмущений) $\left\langle f \left\lvert \right\rvert i\right\rangle= \left\langle i \left\lvert U_s(t)\right\rvert i \right\rangle$. (или $\left\langle i \left\lvert \right\rvert f\right\rangle=\left\langle i \left\lvert U_s^{\ast}(t)\right\rvert i \right\rangle$).

Тогда, суммируя по общему квантовомеханическому правилу,амплитуды тех или иных квантовых процессов перехода и, переходя затем к квадрату модуля полученных выражений, легко найти следующие вероятности как функции времени (здесь уместно заметить, что $\left\lvert\left\langle i \left\lvert U_s(t)\right\rvert i \right\rangle\right\rvert^2=1$ как и должно быть для всякого унитарного оператора).

1) Вероятность "перекрытия" (или "сосуществования") в момент $t>0$ двух состояний : $\left\lvert i\right\rangle$ и $\left\lvert f\right\rangle$ - т.н.overlap integral $P_o(t)$ в виде:

$P_o(t)=\frac{1}{4}\left\lvert \left\langle f \left\lvert \right\rvert i\right\rangle+\left\langle i \left\lvert \right\rvert f\right\rangle \right\rvert^2 \approx \left\lbrace 1- (\frac{t}{\tau_\Gamma})^2\right\rbrace$. (7)

в (7), суммированием амплитуд учтено, что в overlap квантовых состояний $\left\lvert i \right\rangle$ и $\left\lvert f \right\rangle$ - вносят вклад как "прямые" ($i\to f$) , так и обратные "переходы"($f\to i$).

С другой стороны, можно найти и вероятность $P_t(t)$ того что , к моменту времени $t>0$, "начальное" состояние $\left\lvert i\right\rangle$ - таки, необратимо перейдет ("протуннелирует") в "конечное"состояние $\left\lvert f\right\rangle$, соответствующее "новому" гамильтониану системы $H=H_0+V$. В данном случае , поскольку "прямые" и "обратные" переходы в любой момент времени - частично компенсируют друг друга, то, для вычисления "неравновесной" вероятности ("необратимого перехода") из $\left\lvert i\right\rangle$ в $\left\lvert f\right\rangle$, необходимо брать амплитуду, являющуюся разностью амплитуд "прямого" и "обратного" переходов:

$P_t(t)=\frac{1}{4}\left\lvert \left\langle f \left\lvert \right\rvert i\right\rangle - \left\langle i \left\lvert \right\rvert f\right\rangle \right\rvert^2 \approx \left\lbrace (\frac{t}{\tau_\Gamma})^2\right\rbrace$, (8)

где $\tau_\Gamma=\frac{\hbar}{V}$ , $V=(A-1)<<1$.

Очевидно, вычисленная нами вероятность "необратимого" перехода из "начального" квантового состояния $\left\lvert i\right\rangle$ с гамильтонианом $H_0$ в "конечное" квантовое состояние $\left\lvert f \right\rangle$ с гамильтонианом $H=H_0+V$ к моменту времени $t>0$ с момента изменения гамильтониана (скачка) - совпадает (с точностью до числового множителя) с тем , что дает для такой же вероятности, в такой же модели, и вычисление с помощью широко известного всем Fermi golden rule (это соответствие предполагает, что в формуле для Fermi golden rule берется предел , когда : $E_f \to E_i$ для собственных энергий невозмущенного гамильтониана $H_0$).


Очевидно, что обе вероятности $P_o(t)$ , $P_t(t)$ - должны быть меньше единицы , поэтому все наше приближение с результатами (8,9) "применимо" только для времен (с момента скачкообразного возмущения гамильтониана в $t=0$), меньших $\tau_\Gamma$ :

$t<\tau_\Gamma=\frac{\hbar}{V} >>0$, (9)

что в нашем случае выполняется , поскольку $V=(A-1)<<1$.

Каков же физический смысл имеет неравенство (9)? - На этот вопрос легко ответить: для этого достаточно увидеть, что выражение для $\tau_\Gamma$ - воспроизводит предельный случай для фундаментального квантовомеханического неравенства - соотношения неопределенностей между разностью энергий двух последовательно измеряемых квантовых состояний и временного интервала , разделяющего моменты двух этих измерений, т.е.

$\Delta\tau_{m} \approx \tau_\Gamma=\frac{\hbar}{V} >>0$. (10)

- Таким образом, условие (9) просто означает, что все эффекты "смешивания" невозмущенного и возмущенного квантовых состояний системы (т.е. и overlap и "необратимый" переход из "старого" квантового состояния в "новое" квантовое состояние) в результате скачкообразного возмущения ее гамильтониана $\left\lvert i\right\rangle$ в $\left\lvert f\right\rangle$ - могут иметь место в системе только для на протяжении периода времени (с момента возмущения) МЕНЬШЕГО $\Delta\tau_{m}$(или равного $\Delta\tau_{m}$ ,в пределе. когда $P_o(t)\to 0$).

При этом характерное время $\tau_\Gamma$ - это, по определению, минимально допускаемый квантовой механикой временной интервал, разделяющий два момента измерений состояния квантовой системы, могущих дать экспериментатору информацию о том, на какую величину изменилась энергия квантовой системы между этими двумя моментами измерений ее состояния. Таким образом , поскольку в идеальной ситуации , уже за время $\tau_\Gamma$ экспериментатор в состоянии получить информацию о точной разнице энергий системы в состояниях "до" и "после" ее возмущения скачком гамильтониана, то, спустя время $\tau_\Gamma$ с начала измерений, исследователь, в принципе, уже может точно знать "новые" собственные значения гамильтониана системы $H=H_0+V$ (но только при малом $V$), а это значит, что к этому моменту времени квантовая система уже должна будет "гарантированно" перейти в свое "новое" квантовое состояние, соответствующее новым собственным значениям "возмущенного" гамильтониана $H(t)$.

Все сказанное выше означает, что все эффекты "перекрытия" (или одновременного сосуществования ) состояний , соответствующих $H_0$ и $H(t)$ - должны всегда происходить на временах, меньших $\tau_\Gamma$ . Вот таков физический смысл неравенства (9). Заметим, что в силу малости $V<<1$, $\tau_\Gamma$ - в рассматриваемом случае может быть довольно велико : $\tau_\Gamma>>1$ , а это, как раз, означает, что сосуществование в системе квантовых состояний , соответствующих ее гамильтониану до и после скачка - может продолжаться довольно долгое время: $0<<t <<\tau_\Gamma$ .

Отсюда следует важный вывод: при возникновении любого, даже сколь угодно малого, но при этом достаточно быстрого, изменения гамильтониана квантовой системы, собственные состояния такой системы принципиально не могут быстро "подстроиться" под "новые", возмущенные собственные значения ее гамильтониана.

Процесс такой "подстройки" квантовых состояний системы под "новые" внешние условия , по сути, является примером квантового туннелирования системы из ее "старых" собственных состояний в "новые". Такое туннелирование всегда занимает конечное (а при очень малых возмущениях и очень большое) время, в течение которого "невозмущенные" и "возмущенные" квантовые состояния системы сосуществуют друг с другом. При этом , как и должно быть, с ростом времени, вероятность "перекрытия" "новых" и "старых" собственных состояний системы уменьшается до нуля, тогда как вероятность соответствующего "необратимого" перехода из "старого" в "новое" собственное состояние системы - наоборот растет до единицы при $t \sim \tau_\Gamma$.

(Здесь стоит отметить, что, если посчитать аналогичные вероятности $P_o(t)$ , $P_t(t)$, используя для оператора эволюции выражение $U_pvp(t;0)$, предложенное автором задачи, pvp, то мы получим:$P_o(t)=\left\lbrace\cos(\frac{t}{\tau_\Gamma})\right\rbrace^2$ , $P_t(t)=\left\lbrace\sin(\frac{t}{\tau_\Gamma})\right\rbrace^2$, соответственно. Очевидно, что, хотя в рамках теории возмущений по $V<<1$, при $t<<\tau_\Gamma$ данные выражения и совпадают с правильными выражениями (7) и (8) , однако, если, следуя утверждению автора задачи об "универсальности" предложенного им в качестве решения оператора эволюции $U_pvp(t;0)$, рассмотреть противоположный предел данных выражений, при $t>>\tau_\Gamma$, т.е. предел вне теории возмущений по $V<<1$, то мы получим "нефизический" результат: при больших возмущениях гамильтониана, в любой момент времени, сколь угодно удаленный от момента этого возмущения, и вероятность "перекрытия" возмущенного и невозмущенного квантовых состояний, и вероятность "необратимого перехода" системы из невозмущенного состояния в невозмущенное - обе эти вероятности будут оставаться конечными и будут еще и осциллировать при этом! Из этого следует, что выражение для $U_pvp(t;0)$, примененное вне теории возмущений по $V<<1$ -описывает такое поведение квантовой системы, при котором она так никогда толком и не перейдет из своего "старого" собственного состояния, соответствующего гамильтониану $H_0$ , в свое "новое" собственное состояние, соответствующее гамильтониану $H=H_0+V(t)$!

Этот результат - еще одно свидетельство того, что выражение $U_pvp(t;0)$, приведенное автором задачи в качестве ее "универсального" решения, не может являться таковым.)

В заключение отметим, что описанный выше эффект туннелирования за конечное время "старого" квантового состояния системы в ее "новое" квантовое состояние, соответствующее новым собственным значениям гамильтониана этой системы, после его малого скачкообразного изменения извне - лежит в основе широкого класса разнообразных т.н. quantum retardation effects (т.е. квантовых эффектов отдачи, или запаздывания), хорошо известных специалистам, работающим, напр. в сфере quantum condensed matter. В частности , к таким эффектам могут быть отнесены: эффекты нестационарного квантового туннелирования (туннельные токи) в квантовых туннельных контактах, разнообразные quench-эффекты, т.н. эффекты Loschmidt echo и другие.

В основе всех этих эффектов - одновременное "сосуществование" в квантовой системе (в течение конечного времени $0<<t\leqslant \tau_\Gamma$) ее невозмущенного и возмущенного квантовых состояний, не полностью ортогональных друг другу и, плавно туннелирующих друг в друга. При этом, как мы видели выше: чем меньше скачкообразное возмущение гамильтониана системы, тем больше будет $ \tau_\Gamma$ и, соответственно, тем дольше "невозмущенное" и "возмущенное" квантовые состояния системы будут в ней сосуществовать, перекрываясь и плавно туннелируя друг в друга.

P.S. Из всего сказанного следует, что, если, скажем, в системе будет иметь место не одно , а много разных скачкообразных (но достаточно малых по своей амплитуде ) изменений ее гамильтониана со временем, таких чтобы их суммарный временной масштаб был бы меньше, или порядка $ \tau_\Gamma$ (напр. череда небольших , но достаточно узких и "квадратных" по форме "импульсов" управляющего параметра (или функции контроля) $B(t)$) , то волновая функция (или матрица плотности) такой квантовой системы не будет "буквально" следовать таким скачкообразным изменениям ее гамильтониана - она будет всегда следовать этим изменениям внешних параметров с существенным "запаздыванием", так что ее квантовые состояния , являвшиеся для системы собственными ее квантовыми состояниями на различных этапах ее эволюции (со скачками гамильтониана)- будут сосуществовать в системе в количестве тем большем, и в течение времени тем большего, чем больше будет $ \tau_\Gamma$, т.е. чем меньше будет амплитуда этих скачкообразных возмущений.

Такое поведение квантовой системы является проявлением того тривиального факта, что она -"квантовая", т.е. иными словами,"слабоуправляемая" доступными нам "макроскопическими" средствами. Образно говоря: для абсолютно любой квантовой системы (до тех пор пока ее не "накачают энергией" извне настолько, что она станет "классической" и, следовательно, полностью управляемой в большинстве случаев) - не существует такой специальной макроскопической "ручки управления", "подкручивая" которую, можно было бы по своему желанию "макроскопически убирать" все квантовые интерференционные эффекты, превратив недетерминированную в своей основе квантовую систему, в банальный, полностью детерминированный "радиоприемник".)))

- Это все , о чем я хотел рассказать в связи с этой темой. Спасибо за внимание!

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1188269 писал(а):

что в нашем случае выполняется , поскольку $V=(A-1)<<1$.

Написали такую простыню текста вместо того, чтобы прочитать условие, в котором $V=(A-1)H_0$, а не $A-1$.

[Red_Herring]

А кто такой $A$? Если это просто скалярный множитель, тогда  всё тривиально. Если это оператор, имеющий спектральный проектор и коммутирующий с $H_0$,тогда всё тоже тривиально. В общем случае: будут и другие собственные вектора и другие траектории,

[Founder_Q]

Спасибо всем за комментарии!

g______d в сообщении #1188203 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

Соответственно этому, условие , при котором приближенное решение задачи вообще существует, будет следующим:

А зачем здесь вообще нужно приближённое решение, если точное уже найдено?

- $U_pvp(t;0)$ не является точным решением, поскольку: i) не удовлетворяет локальной симметрии (по отношению к обращению времени) точного решения уравнения Шредингера; ii) гамильтониан системы , а значит и описывающее ее динамику уравнение Шредингера - не определены на интервале скачка гамильтониана, т.к. функция $B(t)$ на этом интервале - не дифференцируема; iii) (как результат пп. i),ii)) квантовые вероятности, вычисляемые с помощью выражения $U_pvp(t;0)$ - не описывают правильно то, что происходит с системой при $t \to \infty$, вне теории возмущений (хотя - должны были бы, если бы $U_pvp(t;0)$ действительно было точным решением задачи), т.е. когда: $t > \tau_\Gamma$.

В то же время, предложенное мной приближенное решение: $U_s(t;0)$ не претендует на то, чтобы быть точным во всей области собственных значений $H(t)$ - оно справедливо только в теории возмущений, однако , в своей области определения (т.е. при $t \leqslant \tau_\Gamma$, при $V=(A-1)H_0<< H_0$ , решение $U_s(t;0)$ - удовлетворяет всем необходимым критериям правильного решения задачи. А именно: i) удовлетворяет локальной симметрии (по отношению к обращению времени) точного решения уравнения Шредингера; ii) в рамках теории возмущений в скачке гамильтониана важна только его "высота" (т.е. просто величина постоянного возмущения $V(t)$, без свойства его непрерывности и дифференцируемости, как было бы в самом общем случае, вне теории возмущений. Поэтому , скачок гамильтониана системы, как ее малое возмущение фиксированной "высоты" - вполне определенная постоянная во времени вещь, а значит и решение данной задачи - в рамках теории возмущений - также вполне определено; iii) (как результат пп. i),ii)) квантовые вероятности, вычисляемые с помощью выражения $U_s(t;0)$ - описывают правильно то, что происходит с системой при $t \to \infty$, т.е. по теории возмущений, когда: $t \leqslant \tau_\Gamma$.

P.S. Конечно, можно и $U_s(t;0)$ записать формально в виде:$\exp\left\lbrace-i Vt \right\rbrace$, (и этот вид решения будет обладать симметрией, относительно обращения времени, в силу того, что в этом случае, постоянный гамильтониан возмущения : $V=(A-1)H_0$), однако, такое формальное "сворачивание" выражения (6) в "экспоненту" - будет бессмысленно, поскольку, при условиях (1),(2) и (9),(10) -справедливости теории возмущений, такая экспонента, на практике, не будет сильно отличаться от своего разложения по малому параметру $(t / \tau_\Gamma)<1$ вида (6).

g______d в сообщении #1188203 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

это - фундаментальная симметрия для динамики любых квантовых систем с постоянным гамильтонианом

С постоянным -- да. С кусочно постоянным -- нет.

Не согласен. Все дело в разрыве (или недифференцируемости) постоянного гамильтониана в одной точке. Возьмем два разных уравнения Шредингера: с двумя разными , но постоянными во времени гамильтонианами, для двух разных операторов эволюции: $i\frac{\partial U_1(t_1;0)}{\partial t_1}=H_0U_1(t_1;0)$ и $i\frac{\partial U_2(t_2;0)}{\partial t_2}=(H_0+V)U_2(t_2;0)$. Очевидно, что два этих уравнения "ничего не знают друг о друге", т.е. никак друг с другом не связаны, ни вообще, ни в плане симметрии, в частности; но тогда , это значит, что никак друг с другом не связаны в плане симметрии будут и два их решения: $U_1(t_1)$ и $U_2(t_2)$ - т.е. оба эти решения должны быть симметричны относительно обращения времени , точно так же, как симметричны относительно этой процедуры два порождающие их уравнения с $t_1$ и с $t_2$ с обоими аргументами , определенными на полной оси: $t_1 \in (-\infty;\infty)$ и $t_2 \in (-\infty;\infty)$. И все будет обстоять таким образом, пока мы не наложим на аргументы $t_1$ и $t_2$, дополнительное (и начальное для $U_2(t_2)$ ) условие: $t_1\leqslant t_0<t_2$, (где $t_0$- момент скачка гамильтониана). Тогда и можно будет в обоих уравнениях заменить два аргумента $t_1$ и $t_2$ - одним аргументом $t\in (-\infty;\infty)$. Но, тогда становится очевидно: все, что превносит в рассмотрение дополнительное условие: $t_1\leqslant t_0<t_2$ - это только "обрезание" областей определения аргументов $t_1$ и $t_2$, и, при этом, никаких специальных условий, собственно, на решения $U_1(t_1)$ и $U_2(t_2)$ в точке $t=t_0$. Но это означает, что свойства симметрии решений $U_1(t_1)$ и $U_2(t_2)$, по отношению к обращению времени - должны остаться неизменными и при "сшивке" этих двух решений - в одно решение: $U(t;0)$ - при помощи условия: $t_1\leqslant t_0<t_2$. Но тогда, получившееся в результате такой сшивки решений, "общее" решение: $U(t)$ - должно будет удовлетворять тем же вполне конкретным условиям инвариантности по отношению к обращению времени в двух предельных случаях: при $t \to -\infty$ и при: $t\to\infty$ - которым удовлетворяли до этого оба решения: $U_1(t_1)$ и $U_2(t_2)$ - по отдельности.

(Примечание: эта ситуация эквивалентна большинству задач квантовой теории рассеяния (со скачком гамильтониана в роли локального рассеивателя): когда условия , накладываемые на решение задачи - не известны вблизи рассеивателя, но известны на $\pm\infty$ по $x$ и $t$- обычно предполагается, что точные решения квантовой задачи рассеяния должны "на бесконечности" переходить в "плоские волны", т.е. в "свободные" решения соответствующих дифференциальных уравнений (Шредингера) с постоянными гамильтонианами.)

Таким образом, очевидно, что любое точное решение задачи со скачком , справедливое на всей временной оси: $t\in (-\infty;\infty)$ - неизбежно должно удовлетворять свойству симметрии по отношению к обращению времени в пределе, когда: $t\to\pm\infty$. Теперь, очевидно, что найденное мной по теории возмущений приближенное решение: $U_s(t;0)$ - удовлетворяет этому свойству, тогда как решение $U_pvp(t;0)$, которое pvp считает универсальным "точным" решением задачи, не удовлетворяет этому условию (т.к. в отличие от приближенного решения $U_s(t;0)$, в фазу $U_pvp(t;0)$ входит весь интервал интегрирования ("до" скачка + "после" скачка), на котором ступенчатая подынтегральная функция времени $B(t)$ -определена несимметрично, относительно операции обращения времени). Это означает, что , раз для решения: $U_pvp(t;0)$ - не выполняется необходимое свойство, которым должно обладать всякое действительно точное решение данной задачи, то $U_pvp(t;0)$ - и не может быть точным решением этой задачи.

g______d в сообщении #1188203 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

поэтому она должна выполняться и в этой задаче в пределе $t>>0$

Разумеется, нет. Хотя бы потому что локальными возмущениями гамильтониана можно добиться фазового сдвига, который на бесконечности никуда не исчезнет.

Вообще-то, в фазу оператора эволюции входит не гамильтониан , а действие системы, поэтому любой , созданный локальным возмущением сдвиг гамильтониана - выльется в сдвиг фазы, пропорциональный времени, а значит, этот сдвиг фазы - будет зависеть от времени так же , как от него зависит и основная фаза , и, соответственно, этот сдвиг будет обладать теми же свойствами симметрии по отношению к обращению времени, которыми обладает и основная фаза данной системы. Таким образом , пропорциональный времени сдвиг фазы решения из-за локального возмущения гамильтониана - никак не меняет симметрию решения, по сравнению с "невозмущенной" ситуацией.

g______d в сообщении #1188203 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

Очевидно, что выражение $U_pvp(t;0)$, предложенное автором задачи, pvp в качестве "точного" решения этой задачи, не удовлетворяет условию (3), т.е.

$U_pvp(-t;0)\ne U^{*}_pvp(t;0)$, (4)

Тот факт, что решение точное, проверяется прямым вычислением. Симметрией оно обладать не обязано, потому что даже гамильтониан ей не обладает.

- См. мой подробный комментарий к подобному же замечанию выше.

P.S. g______d спасибо за замеченную опечатку (когда пишешь длинный текст, такие опечатки неизбежны). Действительно, в моих предыдущих сообщениях (в основном во втором длинном тексте ) всюду , где написано:$V=(A-1)$ , должно быть, вместо этого, написано: $V=(A-1)H_0$ - при этом,в первой части моего длинного текста, в ф-лах (1,2) , все записано правильно. Однако, эта опечатка - совершенно не влияет ни на какие выкладки в моих комментариях и ни на какие логические выводы из этих рассуждений.

P.P.S. Всюду в формулах, величина A - это скаляр (некая числовая константа).

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1188475 писал(а):

ii) гамильтониан системы , а значит и описывающее ее динамику уравнение Шредингера - не определены на интервале скачка гамильтониана, т.к. функция $B(t)$ на этом интервале - не дифференцируема

Дифференцируемости $B(t)$ нигде не нужно.

Другой вопрос что да, функция $\Psi(t)$ не будет дифференцируемой в одной точке (поскольку её производная разрывна), поэтому нужно как-то сшить решения слева и справа от этой точки. Если потребовать непрерывности решения по времени, то единственным решением будет указанное в первом посте.

Непрерывность по времени подразумевается в момент написания УШ, поскольку иначе было бы добавился член с $\delta(t-t_0)$ в правой части. Ну или, что то же самое, равенство $i \Psi'(t)=H(t)\Psi(t)$ подразумевается в смысле обобщённых производных.

[madschumacher]

Founder_Q, а Вы можете более компактно объяснить, почему Ваше полотно содержит правильный результат?

(нафиг?, т.е. зачем?)

Просто по статистике здешнего Пургатория, подобные оооочень длинные посты, не содержащие ответы другим участникам, означают, что аффтар несет чушь и пытается её так замаскировать, или же не имеет связной точки зрения и поэтому изливает свой поток сознания в интернет. В связи с этим, имхо, Вы должны сделать abstract (или резюме) Вашей точки зрения, иначе антивирус фрикозащита в мозгах у некоторых участников Форума не даст им прочитать Ваши труды.
Особенно, учитывая статистику Ваших сообщений (сложно воспринимать много букаФФ от незнакомых личностей из-за понятных эволюционных защитных механизмов)..

(кст, начало Вашего первого поста, с ультимативными выражениями вида:

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

вы интуитивно правильно понимаете квантовую механику.

и менторским тоном:

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

побудили меня написать ниже подробный "педагогический" разбор всего

также имеют множество сходств с постами, прозябающими в Пургатории )

[Cos(x-pi/2)]

Founder_Q

Специфика задачки pvp не в скачке гамильтониана, а в том, что "возмущенный" гамильтониан $H(t) = B(t)H_0$ здесь выражается через невозмущённый не зависящий от времени гамильтониан $H_0.$ Уравнение Шрёдингера в такой задачке имеет точное и притом элементарное решение вне зависимости от того, есть или нет скачок у функции $B(t).$ А поскольку уравнение Шрёдингера - основное в квантовой механике, то ни теория возмущений ни философствования здесь не нужны.

pvp уже привёл решение; для ясности, вот, пожалуйста, решу ещё раз уравнение Шрёдингера $i \frac{\partial \Psi}{\partial t} = H(t) \Psi,$ с функцией $B(t)$, произвольной (в рамках разумного) на конечном интервале времени от $t_0$ до $t_1.$ Решаю так, как меня учит Капитан Очевидность.

Пусть по условию задачи скалярный множитель $B(t)=1$ при всех $t \le t_0.$ В промежутке между моментами времени $t_0$ и $t_1 > t_0$ пусть $B(t)$ как угодно изменяется; затем изменения заканчиваются: $B(t)=A$ при $t \ge t_1.$

Начальное условие:

$\Psi(x,t) = \psi_n(x) \, e^{-iE_nt}$ при $t < t_0,$

где $\psi_n(x)$ и $E_n$ - с. ф. и с. зн. гамильтониана $H_0,$ т.е. выполняется равенство $H_0\, \psi_n(x)=E_n\, \psi_n(x)$ (причем $\psi_n(x)$ удовлетворяет подобающим такой задаче "граничным условиям").

Ищем решение уравнения Шрёдингера в виде:

$\Psi(x,t)=\psi_n(x) \, e^{-iE_n \, F(t)},$

где $F(t)$ - неизвестная функция.

Подстановка этого выражения в левую и в правую сторону уравнения Шрёдингера даёт:

$i \frac{\partial \Psi}{\partial t} = E_n\, \frac{dF}{dt}\, \Psi \, ,$

$H(t) \Psi = B(t)\, E_n \, \Psi \, .$

Приравняв результаты подстановки, получаем простое уравнение для неизвестной функции $F(t):$

$\frac{dF}{dt} = B(t)$

с начальным условием $F(t)=t$ при $t<t_0.$ Следовательно, вот ответ:

$F(t) = \int_{t_0}^t \, B(t') \, dt' \, + \, t_0 \, .$

Действительно, при $t \le t_0$ по условию задачи $B(t')=1,$ так что интеграл равен $t-t_0,$ и поэтому $F(t)=t.$

При $t>t_1$ интеграл можно разбить на два интеграла: от $t_0$ до $t_1$ (в этом промежутке $B(t')$ как-то изменяется, так что интеграл равен $(t_1-t_0)b,$ где $b$ - среднее значение функции $B(t)$ на этом промежутке, требуется только чтобы $b$ не обращалось в бесконечность), и от $t_1$ до $t$ (там $B(t')=A,$ так что интеграл равен $(t-t_1)A).$ Таким образом, при $t>t_1:$

$F(t)=A\, t+ C,$

где константа $C=(t_1-t_0)b-t_1A+t_0\,.$

Случай с изменяющейся скачком функцией $B(t)$ получается отсюда при $t_1 \to t_0.$ Видно, что в этом пределе вклад в $C,$ зависящий от $b,$ стремится к нулю, т.е. детали поведения функции $B(t)$ в промежутке её изменения перестают влиять на скачок фазы волновой функции в этой задачке.

(У этой задачки проблема не с решением, оно элементарное, а с физическим смыслом самой такой задачки :-)

[Founder_Q]

g______d в сообщении #1188480 писал(а):

Если потребовать непрерывности решения по времени, то единственным решением будет указанное в первом посте.

-Решение pvp в виде $U_pvp(t;0)$ - не является непрерывным по времени, т.к. непрерывность функции означает, автоматически, и непрерывность ее производной (а вообще-то, и всех ее производных любых порядков - это соответствует понятию "гладкая" функция) , а в данном случае, производная: $\frac{dU_pvp(t;0)}{dt}$ - испытывает скачок при $t=t_0$ , ( из-за скачка функции $B(t)$ в этой точке по условию задачи), а значит - не является непрерывной функцией, поэтому и решение pvp в виде $U_pvp(t;0)$ - также не является непрерывным по времени.

g______d в сообщении #1188480 писал(а):

Непрерывность по времени подразумевается в момент написания УШ

- В том-то и дело, что в данном случае, речь реально идет о двух разных уравнениях Шредингера: с $H_0$, при $-\infty< t \leqslant t_0$ и $H=H_0+V$, при $t_0< t$ - каждое из которых (в силу определения: $H_0=\operatorname{const}$ (в смысле постоянства собственных значений оператора) и $V=\operatorname{const}$) -обладает "своим" свойством непрерывности по времени на "своем" отрезке определения временного аргумента. Если же искусственно "сшить" два , изначально симметричных во времени, решения этих двух уравнений Шредингера, как , фактически, это и сделано у pvp, то оба свойства непрерывности по времени (при $t \to \pm \infty$) , имевшие место у каждого из этих решений - нарушатся , в силу того, что в этом случае "сшивка" двух констант , $H_0$ и $H=H_0+V$ приведет к появлению в "сшитом" решении одной ступенчатой функции $B(t)$ со скачком при $t=t_0$, т.е. не симметричной по отношению к обращению времени.

Но тогда, соответственно, и все "сшитое" pvp решение , $U_pvp(t;0)$- также потеряет необходимую симметрию по отношению к обращению времени в пределе:$t \to \pm \infty$. По этой причине решение $U_pvp(t;0)$ - не может быть точным решением задачи, в то время, как предложенное мной приближенное решение $U_s(t;0)$ - не являющееся точным, тем не менее, полностью удовлетворяет требованию симметрии по отношению к обращению времени во всей области определения временного аргумента (поскольку это решение получено по теории возмущений), а значит, $U_s(t;0)$ - является "легитимной" сшивкой двух решений для двух уравнений Шредингера (с гамильтонианами: $H_0$ и $H=H_0+V$ при $t \to - \infty$ , и при $t \to \infty$, соответственно.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1188620 писал(а):

При $t>t_1$ интеграл можно разбить на два интеграла: от $t_0$ до $t_1$ (в этом промежутке $B(t')$ как-то изменяется, так что интеграл равен $(t_1-t_0)b,$ где $b$ - среднее значение функции $B(t)$ на этом промежутке, требуется только чтобы $b$ не обращалось в бесконечность)

- В том-то и дело, что на интервале (скачка функции $B(t)$) от $t_0$ до $t_1$, в пределе: $(t_1-t_0) \to 0$ - невозможно записать никакого дифференциального уравнения Шредингера, в силу неопределенности правой части такого уравнения, связанной с неопределенностью гамильтониана на данном отрезке временной эволюции системы. Поэтому на данном временном отрезке и нельзя записать "решение уравнения Шредингера" (такового на этом отрезке также не существует) в каком-либо определенном виде, например: $\exp\left\lbrace-ib(t_1-t_0)\right\rbrace$ .

Наглядно увидеть все эти вещи можно, если записать исходное уравнение Шредингера во всей области по $t \in (0;\infty)$(т.е. при наличии функции $B(t)$ под интегралом) в его интегральной форме:

$\left\lvert\psi(t)\right\rangle=\left\lvert\psi(0)\right\rangle -i \int\limits_{0}^{t}ds (B(s)-1)H_0\left\lvert\psi(s)\right\rangle$ (1)

- формально решение этого уравнения всегда можно записать в виде бесконечного ряда вложенных итераций - это и называется обычно Dyson series (по-русски, чаще звучит название "ряд теории возмущений") . Так вот, если, скажем, $(B(s)-1)H_0$ - достаточно мало (в смысле собственных значений оператора), то бесконечное количество слагаемых с высшими степенями вида $\left\lbrace(B(s)-1)H_0^n\right\rbrace$, ($n>1$) - можно отбросить, т.к. их вклад будет мал по сравнению со слагаемым первого порядка в правой части (1), равным просто $-i \int\limits_{0}^{t}ds (B(s)-1)H_0$ - что переходит в решение pvp (при этом надо просто учесть, что это возмущение - "над" свободным решением вида $\exp\left\lbrace-\int\limits_{0}^{t}dsH_0\right\rbrace$), но(!) это все - справедливо только в первом (!) порядке теории возмущений по $(B(s)-1)H_0$, т.е. как я и писал раньше, при: $(B(t)-1)H_0<<H_0$ , или, другими словами, просто при $(B(t)-1)<<1$ - т.е. только для "очень маленьких" скачков гамильтониана. В этом случае, принято говорить, что "ряд теории возмущений - сходится".

Вместе с тем, в самом общем случае, когда "возмущение" не мало (напр. когда $V(t)>>H_0$) - как правило, нельзя сказать ничего определенного о сходимости ряда теории возмущений (т.е. о конкретном виде точного решения уравнения (1)) т.к. в самом общем случае произвольного $V(t)$ высшие порядки в разложении Дайсона будут расходиться (т.е. не будут стремиться к какому-то конкретному пределу в виде конкретной, явно заданной операторной функции).

В данном же частном случае, поскольку $V(t)$ - имеет специальный диагональный вид (- коммутирует с $H_0$), т.е. просто: $V(t)=(B(t)-1)H_0$ - то для ГЛАДКИХ (Т.Е. БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ) ФУНКЦИЙ $B(t)$ - правая часть (1) также "сходилась" бы (причем точно) к выражению$\exp\left\lbrace-i \int\limits_{0}^{t}ds (B(s)-1)H_0\right\rbrace$ при любой величине "возмущения" $V(t)=(B(t)-1)H_0$.. все было бы именно так, если бы.. не скачок функции $B(t)$ .

-Именно этот скачок делает возможным запись решения уравнения (1) в виде $U_pvp(t;0)$, ТОЛЬКО ПРИ УСЛОВИИ: $(B(t)-1)H_0<<H_0$. Потому что в любом другом случае (т.е. если, например: $(B(t)-1)H_0>>H_0$, т.е. если $(B(t)-1)$ не мало) , в решении уравнения (1) нужно будет учитывать уже бесконечное число высших степеней от интеграла:$-i \int\limits_{0}^{t}ds (B(s)-1)H_0$ и, как я уже писал в своем первом посте, при этом в Dyson series всегда найдется такое $n>>1$, настолько большое, что любой, даже исчезающе малый интервал: $dt=(t_1-t_0)\to 0$ неопределенности функции $V(t)=(B(t)-1)H_0$ , повторенный $n$ раз при этом n- кратном интегрировании, даст неопределенный вклад в каждый $k$-ый порядок разложения для всех $k\geqslant n$, сравнимый с оставшимся, вполне определенным вкладом в этот k-ый порядок.

Таким образом в случае скачкообразного возмущения $V(t)=(B(t)-1)H_0>>H_0$ - все высшие порядки ряда теории возмущений оказываются полностью неопределенными, что автоматически делает неопределенным и точное решение интегрального уравнения (1) в этом случае. (см. мой самый первый пост)

- Именно поэтому непротиворечивое решение поставленной задачи возможно только по теории возмущений, т.е. в предположении: $(B(t)-1)H_0<<H_0$ , о чем я и пишу здесь все время.

P.S. С самой общей теор.физической точки зрения, здесь можно добавить еще, что квантовая механика, как математический аппарат, вообще не приспособлена для "точного" описания любых скачкообразных изменений волновой функции (и ее производных) , поскольку к таким "скачкообразным" изменениям нужно отнести , в том числе, и явление мгновенного коллапса волновой функции квантовой системы при любом проективном измерении ее наблюдаемых. Такой "коллапс", как хорошо известно, есть абсолютно недетерминированная и неконтролируемая внешними параметрами вещь, и, поэтому, он в принципе не описывается математическим аппаратом квантовой механики. Это очень важный момент для понимания природы любых квантовомеханических задач.

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1188775 писал(а):

непрерывность функции означает, автоматически, и непрерывность ее производной

Так, ладно, мне пора, а то мужики-то не знают....

[pvp]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1188620 писал(а):

(У этой задачки проблема не с решением, оно элементарное, а с физическим смыслом самой такой задачки

Спасибо за очередное разъяснение решения моего примера. Как вы уже могли догадаться, Founder_Q и есть тот друг, который был упомянут в первом посте. Эта задачка была предложена мной ему в качестве удобного, крайне простого примера, без лишних нагромождений и сущностей, но на котором можно ясно разобрать наше с Founder_Q различное понимание квантовой механики в связи с его критикой одной моей статьи.

Что же касается этого заявления:

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

Если же условия (1, 2) применения теории возмущений - не выполняются, то можно математически строго показать, что, определяющие в этом случае эволюцию системы, высшие порядки в разложении Дайсона для точного оператора эволюции системы $U(t;0)$ будут полностью неопределенными из-за больших вкладов во временные интегралы от интервалов неопределенности гамильтониана системы "в момент" его скачкообразного изменения.

- мне странно это читать. Ведь элементарно же написать это разложение Дайсона и увидеть, что это заявление ложно.

$U(t) = 1 + (-i)\int_0^tdt'H(t') + (-i)^2\int_0^tdt'H(t')\int_0^{t'}dt''H(t'') + \dots = \\ =1 + (-i H_0)\int_0^tdt'B(t') + (-iH_0)^2\int_0^tdt'B(t')\int_0^{t'}dt''B(t'') + \dots = \\ |\text{введем}\; S(t) = \int_0^tdt'B(t') \rightarrow \dot S(t) = B(t)| = \\ =1 + (-i H_0)S(t) + (-iH_0)^2\int_0^tdt'\dot S(t')S(t') + \dots = \\ 1 + (-i H_0)S(t) + (-iH_0)^2\frac{S(t)^2}{2} + \dots = \\ = \exp{[-iH_0S(t)]} = \exp{[-iH_0\int_0^tdt'B(t')]}$

Еще проще использовать разложение Т-экспоненты по формуле Магнуса. Там сразу видно, что т.к. гамильтониан коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то из всего ряда выживет только первое слагаемое.

[pvp]

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

а, значит, и любое его точное решение в этот момент времени -должно обладать инвариантностью по отношению к обращению времени (с одновременным комплексным сопряжением) (это - фундаментальная симметрия для динамики любых квантовых систем с постоянным гамильтонианом и поэтому она должна выполняться и в этой задаче в пределе $t>>0$), т.е. $ \left\lvert \psi(-t)\right\rangle=\left\lvert \psi^{\ast}(t)\right\rangle$ . Отсюда следует, что точный (или правильно приближенный, по теории возмущений ) оператор эволюции данной квантовой системы при $t>>0$ должен удовлетворять условию:

$U(-t;0)=U^{\ast} (t;0)$ (3)

- выполнение этого условия будет критерием того, что найденный каким-то образом (точно или приближенно) оператор $U(t;0)$ -правильно описывает квантовую динамику данной квантовой системы.

Тут мы видим взаимоисключающие параграфы. С одной стороны, имеется некое свойство оператора эволюции для постоянных гамильтонианов, и для некоторых промежутков времени $t \in [0, t_0], \; t \in (t_0, \infty)$ гамильтониан задачи действительно постоянный. Но тут же в условии (3) Founder_Q заявляет, что это свойство должно выполняться и на промежутке, содержащим скачок. Но ведь на этом промежутке у нас гамильтониан не постоянный и требовать указанного свойства нельзя.

Позволю себе переписать условие (3) в правильном виде:

$U(t_1;t_2)=U^{\ast} (t_2;t_1)\quad \text{для}\; 0\leq t_1, t_2 \leq t_0 \; \text{или} \; t_0< t_1, t_2$ (3)

где $t_0$ - время, в котором происходит скачок.

[Founder_Q]

g______d в сообщении #1188480 писал(а):

Другой вопрос что да, функция $\Psi(t)$ не будет дифференцируемой в одной точке (поскольку её производная разрывна), поэтому нужно как-то сшить решения слева и справа от этой точки. Если потребовать непрерывности решения по времени, то единственным решением будет указанное в первом посте.

Непрерывность по времени подразумевается в момент написания УШ, поскольку иначе было бы добавился член с $\delta(t-t_0)$ в правой части. Ну или, что то же самое, равенство $i \Psi'(t)=H(t)\Psi(t)$ подразумевается в смысле обобщённых производных.

- В том-то и дело, что, поскольку в данном случае решение должно иметь не только математический, но и квантовомеханический смысл, то требовать только непрерывности решения в данном случае - недостаточно. На самом деле, в данном случае нужно требовать НЕПРЕРЫВНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ (т.е. "гладкости") решения. ЛЮБЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ, КАК РЕШЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (Шредингера) – ВСЕГДА ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ , (т.е. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ – НЕ МОГУТ ИМЕТЬ НИ СКАЧКОВ , НИ ИЗЛОМОВ, поскольку они имеют вероятностный смысл. В противном случае (т.е. в случае скачков и изломов волновых функций) в природе, на квантовом уровне, не наблюдалось бы таких важных и общеизвестных экспериментально-наблюдаемых явлений, как квантовое туннелирование, или, например, скин-эффект).

Cos(x-pi/2) в сообщении #1188620 писал(а):

При $t>t_1$ интеграл можно разбить на два интеграла: от $t_0$ до $t_1$ (в этом промежутке $B(t')$ как-то изменяется, так что интеграл равен $(t_1-t_0)b,$ где $b$ - среднее значение функции $B(t)$ на этом промежутке, требуется только чтобы $b$ не обращалось в бесконечность), и от $t_1$ до $t$ (там $B(t')=A,$ так что интеграл равен $(t-t_1)A.$ Таким образом, при $t>t_1:$

$F(t)=A\, t+ C,$

где константа $C=(t_1-t_0)b-t_1A+t_0\,.$

Случай с изменяющейся скачком функцией $B(t)$ получается отсюда при $t_1 \to t_0.$ Видно, что в этом пределе вклад в $C,$ зависящий от $b,$ стремится к нулю, т.е. детали поведения функции $B(t)$ в промежутке её изменения перестают влиять на скачок фазы волновой функции в этой задачке.

- В том-то и дело, что на интервале (скачка функции $B(t)$ ) от $t_0$ до $t_1$ , в пределе: $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ - невозможно записать никакого дифференциального уравнения Шредингера, в силу неопределенности правой части такого уравнения, связанной с неопределенностью гамильтониана на данном отрезке временной эволюции системы. Поэтому на данном временном отрезке и нельзя записать "решение уравнения Шредингера" (такового на этом отрезке также не существует) в каком-либо определенном виде (в т.ч. , например, и в Вашем виде:$\exp\left\lbrace-i b(t_1-t_0) \right\rbrace$ ) . А раз для этой области нельзя записать какое-либо определенное дифференциальное уравнение, то нельзя выписать и какое-либо определенное решение, а значит, абсолютно неясно ,как именно будет выглядеть количественно вклад этой области $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ в общее решение во всей области и будет ли такой вклад ВСЕГДА (т.е. при любой форме решения в этой области) стремиться к нулю? -Если разобрать этот вопрос конкретнее, то ответ на него будет таким (см. также мои предыдущие посты на эту тему):
- Любой оператор эволюции можно представить в виде Dyson series, где порядок $n$ каждого члена такого разложения - соответствует количеству $n$ "вложенных" (Т-упорядоченных) временных интегрирований вида: $\int\limits_{0}^{t'}dt''$ в этом члене разложения. Тогда можно сказать (см. также ниже в этом посте и мои предыдущие посты), что для $n=1$ - Ваше утверждение действительно верно, независимо от конкретного вида функции на интервале: $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$, т.к. абсолютный вклад этого "интервала неопределенности" в общий вклад члена с $n=1$, при любой конечной "высоте" скачка функции $B(t)$ на этом интервале, будет пропорционален: $\delta t \to 0$ - именно этот член первого порядка (наряду с членом нулевого порядка - единицей) будет давать основной вклад в оператор эволюции по теории возмущений , в случае малости подынтегрального выражения (т.е. в случае малости "возмущения"$V(t)$), когда всеми высшими порядками с $n>1$ в разложении Дайсона можно пренебречь , по сравнению с $n=1$.

Именно поэтому я и писал в своих предыдущих постах , что решение pvp, является решением ТОЛЬКО ПО ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ (т.е. ТОЛЬКО В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИй :$(A-1)H_0<<H_0$, или, что то же самое, при: $(A-1)<<1$).(да и то, решением, неправильно записанным: не в виде разложения экспоненты с постоянным возмущением, а в виде самой экспоненты с несимметричной ступенчатой функцией $B(t)$ под интегралом, что явно нарушает необходимую time-reversal symmetry уравнения Шредингера на интервалах: $t<<t_0$ и $t<<t_0$).

В то же время, во всех случаях , когда высшие порядки в разложении Дайсона - важны, т.е. вне теории возмущений (когда, скажем: $(A-1)H_0 \geqslant H_0$), сколь бы малым не был интервал: $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ неопределенности функции $B(t)$ за счет ее скачка, для него всегда можно показать , положив для определенности: $t=1$; $(A-1)\geqslant 1$; $\delta t=\frac{1}{k}$, ($k\to \infty$), что с ростом порядка разложения Дайсона $n$ (для $n>1$) абсолютный вклад области неопределенности функции $B(t)$ в член $n$-го порядка разложения Дайсона будет пропорционален: $\sim (n)^k \to \infty$, ($k\to \infty$)- т.е. для любого порядка разложения с $n \geqslant 2$ этот вклад может, вообще говоря, расходиться, поскольку нельзя говорить о каком-либо конкретном виде функциональной зависимости для функции $B(t)$ на интервале $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ ее скачка и соответственно этому мы не можем утверждать, что бесконечная сумма бесконечно больших , но полностью неопределенных вкладов - "сходится" к какому-то конечному пределу. При этом мы знаем, что суммарный вклад всех других областей интегрирования по времени (т.е. всех остальных областей, где функция $B(t)$-вполне определена, вместе со всеми своими производными ) в сумме бесконечного числа членов разложения Дайсона - сходится к вполне конечному пределу вида: $\exp\left\lbrace-i (A-1)H_0(t-t_1)-iH_0t_0\right\rbrace$. Но тогда, МЫ НЕ МОЖЕМ ГАРАНТИРОВАТЬ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СТУПЕНЧАТОЙ ФУНКЦИИ $B(t)$, ЧТО полный вклад от всех областей ее временного интегрирования , равный: "$\exp\left\lbrace-i (A-1)H_0(t-t_1)-iH_0t_0\right\rbrace +\sum\limits_{k=2}^{\infty}\left\lbrace UNCERTAINTY\right\rbrace^k$ - (т.е. иными словами, ВСЕ РАЗЛОЖЕНИЕ Дайсона) -ТАКЖЕ БУДЕТ СХОДИТЬСЯ К КАКОМУ-ТО ОПРЕДЕЛЕННОМУ (КОНЕЧНОМУ) ПРЕДЕЛУ В ВИДЕ ОПРЕДЕЛЕННОЙ ОПЕРАТОРНОЙ ФУНКЦИИ $U(t;0)$- (т.е. к точному оператору эволюции квантовой системы).

Но это означает просто, что точный оператор эволюции любой квантовой системы со скачкообразной зависимостью гамильтониана от времени - полностью неопределен вне теории возмущений (когда "высота" этого скачка - малый параметр). - О чем я и писал выше.

Иначе говоря, в математике следует всегда очень четко понимать разницу между двумя выражениями со ступенчатой функцией $B(t)$:

$U(t;0)=1+(-i)H_0\int\limits_{0}^{t}B(t')dt'$

и

pvp в сообщении #1189044 писал(а):

$U(t) = 1 + (-i)\int_0^tdt'H(t') + (-i)^2\int_0^tdt'H(t')\int_0^{t'}dt''H(t'') + \dots = \\ =1 + (-i H_0)\int_0^tdt'B(t') + (-iH_0)^2\int_0^tdt'B(t')\int_0^{t'}dt''B(t'') + \dots $

- В первом выражении результат интегрирования очевиден и никак не зависит от области скачка подынтегральной функции, во втором случае , выписанный здесь ряд Дайсона с бесконечным числом степеней ступенчатой функции $B(t)$ под интегралами - вообще невозможно просуммировать - как в силу уже мной сказанного выше, так и в силу, например, того, что в этом случае, НА ИНТЕРВАЛЕ СКАЧКА: $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$, во всех порядках разложения, НЕЛЬЗЯ УТВЕРЖДАТЬ, ЧТО: $\int_{0}^{\delta t}dt'B(t')\int_0^{t'}dt''B(t'')$ - БУДЕТ РАВНО: $\frac{1}{2}\int_{0}^{\delta t}dt'B(t')\int_0^{\delta t}dt''B(t'')$ т.к. МЫ НИЧЕГО НЕ ЗНАЕМ О СВОЙСТВАХ СИММЕТРИИ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ $B(t)$ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ НА ИНТЕРВАЛЕ СКАЧКА ЭТОЙ ФУНКЦИИ.

И, таким образом, из всего сказанного следует, что, вне теории возмущений по $(A-1)<<1$, нам ничего не может быть известно о том, сойдется ли бесконечный ряд Дайсона на интервале скачка $\delta t=(t_1-t_0)\to 0$ к аналитическому выражению вида: $\exp\left\lbrace-iH_0\int\limits_{0}^{\delta t}B(t')dt'\right\rbrace \to 1$, как это утверждает pvp.

P.S. Вообще, у меня ощущение, что pvp пытается, "для увеличения веса" своих утверждений создать в этой дискуссии некое впечатление о своей якобы осведомленности в математике, однако делает простые ошибки, употребляя термины ,смысл которых он плохо понимает. Это может быть не очевидно начинающим, но специалист сразу видит низкий уровень. Вот конкретные примеры этого - цитаты из его различных постов в этой дискуссии:

pvp в сообщении #1185551 писал(а):

Но никаких приближений делать не нужно. Начинаем с Т-упорядоченной экспоненты:
$U(t) = T\exp[-i\int_0^tH(t')dt']$
И далее можно разными способами показать, что букву Т можно смело убирать. Можно разложить в Dayson series, или Magnus series, а можно совсем дуболомно написать:
$U(t) = T\exp[-i\int_0^tH(t')dt'] = e^{-iH(t)dt}e^{-iH(t-dt)dt}\dots e^{-iH(0)dt}$
И вспоминая формулу Троттера:
$e^Ae^B = e^{A+B}, \; \mathrm{if} \; [A,B]=0$
и применяя ее ко всем этим экспонентам получаем то, что я писал выше. Функция с разрывом стоит в интеграле, так что все ОК.

- Насчет справедливости в общем случае (вне теории возмущений ) высказываний pvp: "никаких приближений делать не нужно", "букву Т можно смело убирать", "Функция с разрывом стоит в интеграле, так что все ОК" - все уже должно быть понятно в контексте всего написанного мной выше. Но в этом своем посте pvp делает совсем очевидные ляпы: во-первых, первое равенство написанное после его слов "совсем дуболомно" - можно писать, только предположив предварительно коммутацию гамильтониана с самим собой в различные моменты времени, в противном случае это равенство не имеет места (т.е. pvp оговорил все это уже ПОСЛЕ сделанного утверждения - в конце этого своего поста, а не ВНАЧАЛЕ). И, наконец, то, что pvp здесь называет "формулой Троттера" - на самом деле, называется Baker-Campbell-Hausdorff formula, формула Троттера - это совсем другое утверждение : для любых (даже некоммутирующих) операторов $A$ $B$ справедлив следующий предел:
$\exp\left\lbrace A+B\right\rbrace=\lim\limits_{n \to \infty} \left\lbrace \exp\left\lbrace\frac{A}{n}\right\rbrace\exp\left\lbrace\frac{B}{n}\right\rbrace \right\rbrace^n$
- это формула Троттера. Кстати, о существовании обеих этих формул ( Baker-Hausdorf и Trotter ) pvp узнал от меня в ходе этой дискуссии (но, видно, он не успел разобраться во всем этом как следует).

Далее:

pvp в сообщении #1189044 писал(а):

Еще проще использовать разложение Т-экспоненты по формуле Магнуса.

-На самом деле, НЕ "Т-экспонента раскладывается по формуле Магнуса", а просто символ Т-экспоненты это и есть компактная запись разложения Магнуса :)(т.е. первичен бесконечный ряд Магнуса/Дайсона, а не символ в виде Т-экспоненты).

также , и следующее утверждение:

pvp в сообщении #1189044 писал(а):

Там сразу видно, что т.к. гамильтониан коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то из всего ряда выживет только первое слагаемое.

- (как читатель может сам убедиться) не имеет никакого отношения к набору употребляемых мной здесь аргументов, т.е. само по себе является ложным (уводящим внимание новичка в сторону) аргументом в данной дискуссии.

Далее:

pvp в сообщении #1189112 писал(а):

Founder_Q в сообщении #1188187 писал(а):

а, значит, и любое его точное решение в этот момент времени -должно обладать инвариантностью по отношению к обращению времени (с одновременным комплексным сопряжением) (это - фундаментальная симметрия для динамики любых квантовых систем с постоянным гамильтонианом и поэтому она должна выполняться и в этой задаче в пределе $t>>0$), т.е. $ \left\lvert \psi(-t)\right\rangle=\left\lvert \psi^{\ast}(t)\right\rangle$ . Отсюда следует, что точный (или правильно приближенный, по теории возмущений ) оператор эволюции данной квантовой системы при $t>>0$ должен удовлетворять условию:

$U(-t;0)=U^{\ast} (t;0)$ (3)

- выполнение этого условия будет критерием того, что найденный каким-то образом (точно или приближенно) оператор $U(t;0)$ -правильно описывает квантовую динамику данной квантовой системы.

С одной стороны, имеется некое свойство оператора эволюции для постоянных гамильтонианов, и для некоторых промежутков времени $t \in [0, t_0], \; t \in (t_0, \infty)$ гамильтониан задачи действительно постоянный. Но тут же в условии (3) Founder_Q заявляет, что это свойство должно выполняться и на промежутке, содержащим скачок. Но ведь на этом промежутке у нас гамильтониан не постоянный и требовать указанного свойства нельзя.

-Еще одна очевидная манипуляция со стороны pvp (забалтывание - увод внимания читателя в сторону неверной трактовкой утверждения)
В равенстве (3) содержится информация относительно точного оператора эволюции, который , как я утверждаю (как раз в силу скачка гамильтониана) нельзя найти в данном случае вне теории возмущений по малой "высоте" такого скачка. В то же время свойству (3) по отдельности удовлетворяют решения двух уравнений Шредингера с постоянными гамильтонианами $H_0$ (ДО скачка )и $H=H_0+V$ (ПОСЛЕ скачка), но эти два уравнения Шредингера "ничего" не знают друг о друге" (т.к. нет никакого дополнительного условия, связывавшего бы их решения), значит равенство (3) неизбежно ДОЛЖНО ИМЕТЬ МЕСТО для любого точного оператора эволюции системы $U(t;0)$ - если бы таковой можно было записать в общем случае, ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ, В ДВУХ СЛУЧАЯХ: $t<t_0$ и $t>t_1$ (интервал скачка $(t_0;t_1)$ - сюда , как раз не включен). Но мы видим, что этому необходимому условию симметрии решения в двух указанных пределах, может удовлетворить только приведенное мной приближенное (по теории возмущений) решение задачи в виде: $U_s(t;0)$, тогда как, выражение $U_pvp(t;0)$ , предложенное на роль "точного" решения задачи pvp, не удовлетворяет этому условию в указанных выше двух случаях ($t<t_0$ и $t>t_1$), а значит выражение$U_pvp(t;0)$ - в принципе не может играть роль (ни "точного", ни приближенного) решения данной задачи.

P.P.S. Если уж зашла речь о контексте дискуссии: В упоминаемой pvp "статье" , как раз из-за неверного понимания некоторых аспектов квантовой механики и математики в задачках, подобным данной, pvp и его соавторы - делают абсолютно необоснованный, можно сказать, даже дикий и невежественный вывод о том, что результаты, полученные ими только в рамках теории возмущений и справедливые для поведения их системы реально только в первом порядке теории возмущений и/или в адиабатическом приближении - якобы "справедливы всегда, т.е. и в абсолютно неадиабатическом режиме, и вне теории возмущений". Отсюда авторы делают довольно парадоксальный (и абсолютно неверный) вывод о том, что ЛЮБЫЕ изменения полного гамильтониана их квантовой системы со временем - приводят только к эффектам адиабатической природы, так как если бы эти изменения были чисто адиабатическими. И вот, не стесняясь, pvp и его соавторы объявляют это нелепое утверждение основным результатом своей статьи! - Так что, вот такие теперь "научные" статьи имеются! И все потому, что referee влом вникать в суть дела. Пришлось мне начать восстанавливать справедливость, хотя уже все это надоело, если честно..

Так что, потенциальный читатель : будь осторожен , не доверяй слепо всему, что написано в научном журнале!)))

[g______d]

Founder_Q в сообщении #1189151 писал(а):

Вообще, у меня ощущение, что pvp пытается, "для увеличения веса" своих утверждений создать в этой дискуссии некое впечатление о своей якобы осведомленности в математике

Я не понимаю, к чему вы стремитесь. Свой уровень осведомлённости вы уже продемонстрировали (в сообщении, перенесённом в Пургаторий).

Founder_Q в сообщении #1189151 писал(а):

В том-то и дело, что, поскольку в данном случае решение должно иметь не только математический, но и квантовомеханический смысл, то требовать только непрерывности решения в данном случае - недостаточно. На самом деле, в данном случае нужно требовать НЕПРЕРЫВНОЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ (т.е. "гладкости") решения. ЛЮБЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ, КАК РЕШЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТОВ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ (Шредингера) – ВСЕГДА ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ , (т.е. ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ – НЕ МОГУТ ИМЕТЬ НИ СКАЧКОВ , НИ ИЗЛОМОВ, поскольку они имеют вероятностный смысл. В противном случае (т.е. в случае скачков и изломов волновых функций) в природе, на квантовом уровне, не наблюдалось бы таких важных и общеизвестных экспериментально-наблюдаемых явлений, как квантовое туннелирование, или, например, скин-эффект).

УШ с разрывной правой частью в принципе не может иметь непрерывно дифференцируемого решения в классическом смысле (поскольку утверждение о том, что производная решения разрывна, является частью уравнения). С другой стороны, у этого уравнения есть каноническое и единственное решение в обобщенных функциях, которое и получается с помощью склеивания решений на двух интервалах с условием непрерывности. Это лучшее, что можно получить, решая это уравнение.

Разговоры о физическом смысле в данном случае нужно было проводить до того, как уравнение было написано.

-- Ср, 01 фев 2017 12:17:48 --

Founder_Q в сообщении #1189151 писал(а):

два уравнения Шредингера "ничего" не знают друг о друге" (т.к. нет никакого дополнительного условия, связывавшего бы их решения)

Знают. Если бы не знали, было бы 2 уравнения, при $t<t_0$ и при $t>t_0$, и тогда была бы неопределённость в граничных условиях при $t=t_0$ справа и слева. А если уж уравнение написано одно, то подразумевается, что оно выполняется в смысле обобщённых функций. Кроме того, эта трактовка согласуется с любой регуляризацией, при которой $t_0$ превращается в маленький интервал, на котором гамильтониан плавно меняется от одного значения до другого.