Движение под горку с установившейся скоростью

[fred1996]

Имеется наклонная плоскость.
По ней может двигаться тело с к-том трения $\mu$.
Пусть угол критический. То есть $\tg\alpha=\mu$
Первоначально тело запускают со скоростью $V$ параллельно горизонту. Найти установившуюся скорость.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1183530 писал(а):

Найти установившуюся скорость.

Установившаяся скорость $V/2$.
Мне эта задачка впервые попалась чуть больше двадцати лет назад в задачнике Савченко.

[fred1996]

Я ее откопал где-то лет 40 назад у Иродова.
Иродов - самый поулярный задаченик по физике для подготовки к олимпиадам в США. Имеется переводное издание в Англии весьма нехилым тиражем. А в Индии выпущен полный решебник на все 2000 задач. Не знаю, есть ли такой на русском.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1183568 писал(а):

Я ее откопал где-то лет 40 назад у Иродова.

Думаете, уже достаточно хорошо забыто, чтобы сойти за новое?

[dovlato]

У меня не получается V/2. Это какая задача Савченко?

[SomePupil]

DimaM в сообщении #1183566 писал(а):

Установившаяся скорость $V/2$.

Че-то не верится. То есть, если $\alpha = 0,$ то тело потеряет половину своей скорости?
А если $\alpha \to \frac \pi 2,$ то внезапно повиснет в воздухе?

[Neos]

В плоскости движения равнодействующая на тело сила равна $0$. Комбинированная задача. Вначале нужно решить - движение тела брошенного под углом к горизонту. Угол $0$. Найти составляющую скорости, параллельную плоскости в точке, где ее пересекает парабола. При поверхностном чтении начинаешь решать неправильно. (Я про себя)) Ну, и ограничение, $V$ меньше первой космической Будет ли это считаться установившимся движением ?

[SomePupil]

Neos, я решил так же, как Вы. У меня получилось:

$$v = \frac{1+\sin^2{\alpha}}{\cos{\alpha}}\cdot V$$

$$v = \frac{1+2\mu^2}{\sqrt{1+\mu^2}}\cdot V$$

Это одно и то же с учетом того, что $\mu = \tg{\alpha}$.

Глядите, какая асимптотика: $v = V,$ если $\alpha = 0.$
$v \to \infty,$ если $\alpha \to \frac \pi 2.$

[dovlato]

Ну, что-то наподобие того и у меня. В принципе, мне кажется, наиболее интересны два случая:
- абсолютно неупругое столкновение; и абсолютно упругие отскоки от плоскости.

[fred1996]

SomePupil в сообщении #1183626 писал(а):

DimaM в сообщении #1183566 писал(а):

Установившаяся скорость $V/2$.

Че-то не верится. То есть, если $\alpha = 0,$ то тело потеряет половину своей скорости?
А если $\alpha \to \frac \pi 2,$ то внезапно повиснет в воздухе?

Решение неустойчивое. Поэтому в пределе когда $\tg\alpha\to0$ или $\infty$ имеем неопределенность.

[DimaM]

Neos в сообщении #1183629 писал(а):

В плоскости движения равнодействующая на тело сила равна $0$.

Это когда скорость направлена вниз по плоскости (в конце так и будет). При другой ориентации скорости равнодействующая ненулевая.

SomePupil в сообщении #1183649 писал(а):

Neos, я решил так же, как Вы. У меня получилось:

Это вы какую-то другую задачу решили. Не ту, которую автор в первом сообщении написал.

-- 12.01.2017, 00:49 --

dovlato в сообщении #1183600 писал(а):

У меня не получается V/2. Это какая задача Савченко?

2.1.45.

[dovlato]

Анализ показывает, что при условии $\mu=\tg\alpha$, и при любой степени упругости соударений тела о плоскость $u$ - установившаяся скорость продольного движения есть $V\cos\alpha$.
Очевидно, что каковы бы ни были отскоки, максимумы удалений тела от плоскости не превосходят то, что имеет место после самого первого отскока.
Это означает, что при неограниченном возрастании времени наблюдения $t\to\infty$ импульс прижимающей силы

$$p=mgt\cos\alpha$$

компенсируется ровно таким же по величине импульсом, создаваемым силами реакции опоры.
Следовательно, изменение суммарной продольной составляющей импульса будет равно

$$\Delta p=mgt\sin\alpha-\mu mgt\cos\alpha=mgt\cos\alpha(\tg\alpha -\mu)$$

То есть $\Delta p=0$ ; следовательно, равно нулю и изменение продольной скорости тела. Таким образом, она остаётся равной своему начальному значению

$$u=V\cos\alpha$$

[DimaM]

dovlato в сообщении #1183765 писал(а):

Анализ показывает, что при условии $\mu=\tg\alpha$, и при любой степени упругости соударений тела о плоскость $u$ - установившаяся скорость продольного движения есть $V\cos\alpha$.

Вы тоже решаете не ту задачу.
Тело все время движется вдоль плоскости, нет никаких соударений и отскоков.

[dovlato]

DimaM, спасибо, понял. У Савченко это 2.1.45.

[fred1996]

Савченко, это типа местный Вазари?
Мне как-то попадалась. Я просто занимаюсь олимпиадными задачами всего 3 года и еще не освоил российскую часть и-нета на эту тему.
Пока пользуюсь Иродовым и остальное с бору по сосенке.
Иродов в моей собственной иерархии некий промежуточный уровень.