Общая топология,компактное пространство,нужна помощь!

[Grisha Landau]

Пусть $\Phi$ -Топологическое пространство,$\Gamma$ -открытое покрытие,причём пересечение любых двух открытых множеств пусто,тогда не будет существовать подпокрытия ,и значит пространство $\Phi$ не будет является компактным ,отсюда следует : Не может быть верна след.теорема для компактности топологического пространства необходимо и достаточно ,чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым персечением.Вопрос в другом,в чём моя ошибка?ведь утверждение верно,и доказать легко.
Всем спасибо кто сможет помочь,в чём я ошибаюсь?

[Mikhail_K]

Внутри долларов должны быть только формулы, текста не должно быть внутри долларов.
Да, теперь верно.

[Grisha Landau]

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Пусть $\Phi$ -Топологическое пространство,$\Gamma$ -открытое покрытие,причём пересечение любых двух открытых множеств пусто(открытых множеств принадлежащих покрытию),тогда не будет существовать подпокрытия ,и значит пространство $\Phi$ не будет является компактным ,отсюда следует : Не может быть верна след.теорема для компактности топологического пространства необходимо и достаточно ,чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым персечением.Вопрос в другом,в чём моя ошибка?ведь утверждение верно,и доказать легко.
Всем спасибо кто сможет помочь,в чём я ошибаюсь?

-- 07.01.2017, 07:03 --

Mikhail_K в сообщении #1182502 писал(а):

Внутри долларов должны быть только формулы, текста не должно быть внутри долларов.
Да, теперь верно.

Спасибо,исправил.

[Mikhail_K]

Не уверен, что понимаю Вашу логику.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Пусть $\Phi$ -Топологическое пространство,$\Gamma$ -открытое покрытие,причём пересечение любых двух открытых множеств пусто,тогда не будет существовать подпокрытия ,и значит пространство $\Phi$ не будет является компактным

Да, всё верно, такое пространство некомпактно (если покрытие $\Gamma$ бесконечно). Замечу ещё, что пространство $\Phi$ будет также несвязным с бесконечным количеством компонент связности.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Не может быть верна след.теорема для компактности топологического пространства необходимо и достаточно ,чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым персечением.

А вот это непонятно откуда взято.
В качестве замкнутых подмножеств Вы хотите здесь взять множества из $\Gamma$ или какие? (Да, они будут открытыми и замкнутыми одновременно.)
Пространство некомпактное, так что не любое семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пустым пересечением.
Разумеется, некоторые семейства замкнутых множеств с пустым пересечением будут иметь такие подсемейства (например, это же семейство $\Gamma$), но некоторые (например, семейство дополнений к множествам из $\Gamma$) - не будут.

[Grisha Landau]

Mikhail_K в сообщении #1182508 писал(а):

Не уверен, что понимаю Вашу логику.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Пусть $\Phi$ -Топологическое пространство,$\Gamma$ -открытое покрытие,причём пересечение любых двух открытых множеств пусто,тогда не будет существовать подпокрытия ,и значит пространство $\Phi$ не будет является компактным

Да, всё верно, такое пространство некомпактно (если покрытие $\Gamma$ бесконечно). Замечу ещё, что пространство $\Phi$ будет также несвязным с бесконечным количеством компонент связности.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Не может быть верна след.теорема для компактности топологического пространства необходимо и достаточно ,чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым персечением.

А вот это непонятно откуда взято.
В качестве замкнутых подмножеств Вы хотите здесь взять множества из $\Gamma$ или какие? (Да, они будут открытыми и замкнутыми одновременно.)
Пространство некомпактное, так что не любое семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пустым пересечением.
Разумеется, некоторые семейства замкнутых множеств с пустым пересечением будут иметь такие подсемейства (например, это же семейство $\Gamma$), но некоторые (например, семейство дополнений к множествам из $\Gamma$) - не будут.

Давайте по порядку,моё утверждение верно?А если $\Phi$ -конечно,я эту теорему увидел на сайте одной кафедры,и показалось она мне странной.Тогда как сформулировать Компактность в терминах замкнутых множеств,и как это связанно с центированным мно-вом?

[Mikhail_K]

Grisha Landau в сообщении #1182514 писал(а):

моё утверждение верно?

Какое утверждение?

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Пусть $\Phi$ -Топологическое пространство,$\Gamma$ -открытое покрытие,причём пересечение любых двух открытых множеств пусто,тогда не будет существовать подпокрытия ,и значит пространство $\Phi$ не будет является компактным

Если сюда добавить, что $\Gamma$ - бесконечное открытое покрытие (и уточнить: не будет существовать конечного подпокрытия), то верно.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

для компактности топологического пространства необходимо и достаточно ,чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым персечением

Это тоже верно и доказывается элементарно. Каждому "семейству замкнутых подмножеств с пустым пересечением" соответствует своё открытое покрытие, и наоборот. Семейство дополнений к множествам из "семейства замкнутых подмножеств с пустым пересечением" есть открытое покрытие. Семейство дополнений к множествам из любого открытого покрытия есть "семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением". После этого утверждение теоремы напрямую следует из определения компактности.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

отсюда следует : Не может быть верна след.теорема

Вот это не следует.

[Grisha Landau]

Mikhail_K в сообщении #1182523 писал(а):

Grisha Landau в сообщении #1182514 писал(а):

моё утверждение верно?

Какое утверждение?

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Пусть $\Phi$ -Топологическое пространство,$\Gamma$ -открытое покрытие,причём пересечение любых двух открытых множеств пусто,тогда не будет существовать подпокрытия ,и значит пространство $\Phi$ не будет является компактным

Если сюда добавить, что $\Gamma$ - бесконечное открытое покрытие (и уточнить: не будет существовать конечного подпокрытия), то верно.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

для компактности топологического пространства необходимо и достаточно ,чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым персечением

Это тоже верно и доказывается элементарно. Каждому "семейству замкнутых подмножеств с пустым пересечением" соответствует своё открытое покрытие, и наоборот. Семейство дополнений к множествам из "семейства замкнутых подмножеств с пустым пересечением" есть открытое покрытие. Семейство дополнений к множествам из любого открытого покрытия есть "семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением". После этого утверждение теоремы напрямую следует из определения компактности.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

отсюда следует : Не может быть верна след.теорема

Вот это не следует.

Нет,вы доказываете эту теорему на основании того что будет существовать такое конечное открытое покрытие $\Gamma$ для такого топ.пространства $\Phi$ ,Но ведь этого не может быть,при условии что любое открытое мн-во из покрытия,причём пересечение двух пусто,найдётся подпокрытие,такого не может быть просто.Я не про открытые мн-ва вообщем.

-- 07.01.2017, 08:25 --

Grisha Landau в сообщении #1182529 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1182523 писал(а):

Grisha Landau в сообщении #1182514 писал(а):

моё утверждение верно?

Какое утверждение?

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

Пусть $\Phi$ -Топологическое пространство,$\Gamma$ -открытое покрытие,причём пересечение любых двух открытых множеств пусто,тогда не будет существовать подпокрытия ,и значит пространство $\Phi$ не будет является компактным

Если сюда добавить, что $\Gamma$ - бесконечное открытое покрытие (и уточнить: не будет существовать конечного подпокрытия), то верно.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

для компактности топологического пространства необходимо и достаточно ,чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым персечением

Это тоже верно и доказывается элементарно. Каждому "семейству замкнутых подмножеств с пустым пересечением" соответствует своё открытое покрытие, и наоборот. Семейство дополнений к множествам из "семейства замкнутых подмножеств с пустым пересечением" есть открытое покрытие. Семейство дополнений к множествам из любого открытого покрытия есть "семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением". После этого утверждение теоремы напрямую следует из определения компактности.

Grisha Landau в сообщении #1182500 писал(а):

отсюда следует : Не может быть верна след.теорема

Вот это не следует.

Нет,вы доказываете эту теорему на основании того что будет существовать такое конечное открытое покрытие $\Gamma$ для такого топ.пространства $\Phi$ ,Но ведь этого не может быть,при условии пересечение двух открытых множеств из покрытия пусто,такого не может быть просто.Я не про открытые мн-ва вообщем.

[Mikhail_K]

Я не понимаю Вашей логики.
Пространство в Вашем примере некомпактное. Это значит, по определению, что не из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Также это означает, согласно теореме, что не любое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пустым пересечением.
И я даже могу привести пример такого семейства замкнутых множеств с пустым пересечением, у которого нет такого подсемейства. Для этого надо взять покрытие $\Gamma$ из Вашего примера и у всех множеств оттуда взять дополнения. Они и образуют искомое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением, для которого нет конечного подсемейства с пустым пересечением.

[Grisha Landau]

Mikhail_K в сообщении #1182536 писал(а):

Я не понимаю Вашей логики.
Пространство в Вашем примере некомпактное. Это значит, по определению, что не из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Также это означает, согласно теореме, что не любое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением содержит конечное подсемейство с пустым пересечением.
И я даже могу привести пример такого семейства замкнутых множеств с пустым пересечением, у которого нет такого подсемейства. Для этого надо взять покрытие $\Gamma$ из Вашего примера и у всех множеств оттуда взять дополнения. Они и образуют искомое семейство замкнутых множеств с пустым пересечением, для которого нет конечного подсемейства с пустым пересечением.

Я с вашими словами согласен,если покрытие бесконечно то НИКОГДА нельзя выделить конечное подпокрытие,а разве у конечного можно выделить?Вот в чём вопрос,может быть у нас разные понимания что такое покрытие вообще?Покрытие(открытое) это совокупность множеств(открытых) которые порождают всё топологическое пространство(правда может быть вы имеете ввиду что общий случай покрытия,когда оно лежит в пространстве) ,и при таком определение мы никогда не сможем для конечного покрытия выделить конечное подпокрытие.Соответственно эта теорема оказывается не верна,для конечно и тем более бесконечного покрытия.В чём я ошибаюсь?!

[Mikhail_K]

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

если покрытие бесконечно то НИКОГДА нельзя выделить конечное подпокрытие

Это не так.
Если пространство компактное, то из бесконечного открытого покрытия всегда можно выделить конечное подпокрытие.
Если пространство некомпактное, то не из любого бесконечного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Но и в некомпактных пространствах могут существовать бесконечные открытые покрытия, из которых всё-таки можно выделить конечные подпокрытия.

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

Вот в чём вопрос,может быть у нас разные понимания что такое покрытие вообще?Покрытие(открытое) это совокупность множеств(открытых) которые порождают всё топологическое пространство(правда может быть вы имеете ввиду что общий случай покрытия,когда оно лежит в пространстве)

Ничего не понял.
Может быть, Вам стоит открыть учебник и посмотреть, что такое открытое покрытие?
Это совокупность открытых множеств, которые в объединении дают всё пространство.

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

и при таком определении

Давайте не выдумывать определения, а использовать общепринятые.

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

мы никогда не сможем для конечного покрытия выделить конечное подпокрытие

Это какая-то ерунда. У конечного открытого покрытия всегда есть конечное подпокрытие - оно само.

[Grisha Landau]

Mikhail_K в сообщении #1182543 писал(а):

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

если покрытие бесконечно то НИКОГДА нельзя выделить конечное подпокрытие

Это не так.
Если пространство компактное, то из бесконечного открытого покрытия всегда можно выделить конечное подпокрытие.
Если пространство некомпактное, то не из любого бесконечного открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Но и в некомпактных пространствах могут существовать бесконечные открытые покрытия, из которых всё-таки можно выделить конечные подпокрытия.

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

Вот в чём вопрос,может быть у нас разные понимания что такое покрытие вообще?Покрытие(открытое) это совокупность множеств(открытых) которые порождают всё топологическое пространство(правда может быть вы имеете ввиду что общий случай покрытия,когда оно лежит в пространстве)

Ничего не понял.
Может быть, Вам стоит открыть учебник и посмотреть, что такое открытое покрытие?
Это совокупность открытых множеств, которые в объединении дают всё пространство.

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

и при таком определении

Давайте не выдумывать определения, а использовать общепринятые.

Grisha Landau в сообщении #1182539 писал(а):

мы никогда не сможем для конечного покрытия выделить конечное подпокрытие

Это какая-то ерунда. У конечного открытого покрытия всегда есть конечное подпокрытие - оно само.

Я ничего не выдумывал,в википедии это определение есть,и в книге Общая топология. Т.Н.Фоменко-трактуется как обощение покрытия,давайте остановимся на этом определение "Это совокупность открытых множеств, которые в объединении дают всё пространство" ,то есть вы утверждаете что если существует совокупность открытых множеств, которые в объединении дают всё пространство,причём совокупность эта конечна,то вы допускаете возможно что может существовать подпокрытие,причём напомню что пересечение любых двух откр.множеств из покрытия пусто,такое что оно даёт всё пространство?Докажите это,я не могу понять это никак .

[Mikhail_K]

Grisha Landau в сообщении #1182547 писал(а):

причём напомню что пересечение любых двух откр.множеств из покрытия пусто

Вы путаете одно с другим.
В определении компактности/некомпактности этой оговорки нет, что любые два открытые множества не должны пересекаться.
В абсолютном большинстве случаев открытые покрытия и не удовлетворяют этому условию, то есть множества в них как раз пересекаются, и это неустранимо. Только для некоторых несвязных пространств можно построить нетривиальные (и тем более бесконечные) открытые покрытия из непересекающихся множеств.

Если же потребовать, чтобы множества в покрытии не пересекались друг с другом (а сделать это можно далеко-далеко не всегда), то тогда да. Из бесконечного открытого покрытия, состоящего из непересекающихся множеств, нельзя будет выделить конечное подпокрытие - и пространство, соответственно, будет некомпактным. (У компактных пространств не бывает бесконечных открытых покрытий из непересекающихся множеств.)
Если же у нас есть конечное открытое покрытие из непересекающихся множеств, то из него всегда можно выделить конечное подпокрытие - надо будет взять в качестве такого подпокрытия само это покрытие. Подпокрытие не обязано быть "строго уже" исходного покрытия.

Теорема не нарушается ни в каком случае, даже если рассматривать пространство, допускающее открытое покрытие из непересекающихся множеств. В своём прошлом сообщении я указал, как построить для этого некомпактного пространства нужное семейство замкнутых множеств с пустым пересечением (т.е. у которого нет конечного подсемейства с пустым пересечением).

[Grisha Landau]

Mikhail_K в сообщении #1182552 писал(а):

Grisha Landau в сообщении #1182547 писал(а):

причём напомню что пересечение любых двух откр.множеств из покрытия пусто

Вы путаете одно с другим.
В определении компактности/некомпактности этой оговорки нет, что любые два открытые множества не должны пересекаться.
В абсолютном большинстве случаев открытые покрытия и не удовлетворяют этому условию, то есть множества в них как раз пересекаются, и это неустранимо. Только для некоторых несвязных пространств можно построить нетривиальные (и тем более бесконечные) открытые покрытия из непересекающихся множеств.

Если же потребовать, чтобы множества в покрытии не пересекались друг с другом (а сделать это можно далеко-далеко не всегда), то тогда да. Из бесконечного открытого покрытия, состоящего из непересекающихся множеств, нельзя будет выделить конечное подпокрытие - и пространство, соответственно, будет некомпактным. (У компактных пространств не бывает бесконечных открытых покрытий из непересекающихся множеств.)
Если же у нас есть конечное открытое покрытие из непересекающихся множеств, то из него всегда можно выделить конечное подпокрытие - надо будет взять в качестве такого подпокрытия само это покрытие. Подпокрытие не обязано быть "строго уже" исходного покрытия.

Теорема не нарушается ни в каком случае, даже если рассматривать пространство, допускающее открытое покрытие из непересекающихся множеств. В своём прошлом сообщении я указал, как построить для этого некомпактного пространства нужное семейство замкнутых множеств с пустым пересечением.

Да эту теорему я смог доказать,аналогичное док-во как и ваше,а если говорить про конечные покрытия и про подпокрытие "сторого уже" ведь ,это понятно что покрытие будет своим подпокрытием.

[Mikhail_K]

Тогда я не понимаю, в чём Ваш вопрос.
Может быть, другие участники форума поймут это и ответят на него.

[Lia]

Grisha Landau Замечание за оверквотинг.
Для выборочного цитирования выделяйте фрагмент и используйте кнопку "Вставка".