Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?

[Oam]

Понимаю, что мой вопрос способен вызывать улыбку, т.к. материалов на тему "классические ортогональные полиномы" в интернете очень много. Однако, если разобраться, то по-настоящему ортогональны лишь полиномы Лежандра, тогда как все остальные (из тех, что мне удалось раздобыть), ортогональны не прямом смысле, а лишь при наличии дополнительной нормировки некоторой весовой функцией. Например, для того чтобы полиномы Эрмита стали ортогональными, на них накладывают весовую функция в виде экспоненты. То же самое практикуется с полиномами Чебышева и многими другими.

Конечно, из этой весовой функции можно извлечь квадратный корень, а затем наложить результат на каждую из базисных функций. Тогда базис и в самом деле станет ортогональным, только ... полиномами его тогда назвать будет уже нельзя. И только базис из полиномов Лежандра никакой дополнительной трансформации не требует, а является ортогональным сам по себе.

Впрочем, я не особенно настаиваю, чтобы ортогональный базис обязательно был полиномиальным - мне бы годился любой его вид, то с тем существенным условием, чтобы тот в качестве одной из базисных функций содержал константу типа:
$P_0(x) = 1$
И совсем было бы здорово, если бы этот базис содержал еще и функцию:
$P_1(x) = x$
Что в прикладных задачах означает вклад постоянного уровня и линейного временного тренда, соответственно.
Что же касается всех остальных базисных функций
$P_n(x) = ...$
то мне годятся любые, лишь бы они были ортогональны функциям $ P_0(x)$ и $P_1(x)$.
А если все-таки мое желание осуществимо, и вариантов здесь больше одного, то я бы предпочел, чтобы функции $P_n(x)$ сходились к нулю при удалении от начала координат, либо (что еще лучше) ортогональность вычислялась на конечном интервале.

Отсюда становятся понятны мои сетования на "нагрузку" к ортогональным полиномам в виде весовой функции - она попросту убивает в базисе составляющую $P_0(x) = 1$, превращая ее в себя.

[Markiyan Hirnyk]

Да. Например, многочлены Якоби, если $\alpha$ и $\beta$ взять четными натуральными числами.

[Vince Diesel]

Oam в сообщении #1182398 писал(а):

Что же касается всех остальных базисных функций
Pn(x) = ...
то мне годятся любые, лишь бы они были ортогональны функциям P0(x) и P1(x).

Чем тогда не устраивают полиномы Лежандра? К тому же на отрезке $[-a,a]$ функции $1$ и $x$ ортогональны (и являются первыми многочленами Лежандра).

[Oam]

Vince Diesel в сообщении #1182400 писал(а):

Чем тогда не устраивают полиномы Лежандра? К тому же на отрезке $[-a,a]$ функции $1$ и $x$ ортогональны (и являются первыми многочленами Лежандра).

Я боюсь отвечать на этот ваш вопрос, поскольку опасаюсь, что разговор может перейти в другую колею - обсуждение достоинств и недостатков полиномов Лежандра в каких-либо приложениях. То, что я осведомлен про полиномы Лежандра и их свойства, уже следует из самого заголовка темы. Тогда как я бы очень хотел получить ответ на вопрос о существовании или отсутствия ортогональных базисов с $P_0(x)=1$ и $P_1(x)=x$.

А к тому, что меня устраивает, наиболее близки полиномы Эрмита (в уже "масштабированном" виде!), которые выглядят весьма похоже на гауссиану ($P_0$) и ее производные в порядке возрастания степеней ($P_1,\ldots,P_n$). И этим удовлетворяют моему желанию иметь "пучность" в середине и схождение к нулю на краях. Одна лишь беда - отсутствие в базисном наборе функции $P_0(x)=1$. А без нее разложение/регрессия по полиномам Эрмита оказывается неэффективной, поскольку исходный образ/сигнал не центрирован (или плохо центрирован) по вертикальной оси. Тогда как решение задачи о вычислении постоянной "подставки", которая бы минимизировала число потребных "базисов" для обеспечения требуемой погрешности регрессии, мне явно не по зубам.

[Markiyan Hirnyk]

Какой вопрос - такой ответ.

[Oam]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1182416 писал(а):

Какой вопрос - такой ответ.

Я спросил "Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?", тогда как мне ответили вопросом на вопрос. Так нельзя отвечать. Валидные ответы здесь - "да" или "нет". А в случае "да" еще и название в придачу.

Представьте себе, что студента на экзамене просят найти нетривиальное (ненулевое) решение уравнения, а он в ответ выдает - "чем вас не устраивает нулевое решение?"

[Vince Diesel]

Oam в сообщении #1182411 писал(а):

Тогда как я бы очень хотел получить ответ на вопрос о существовании или отсутствия ортогональных базисов с P0(x)=1 и P1(x)=x.

Полиномы Лежандра существуют. Значит, существуют ортогональные базисы требуемого вида. Можно и другие настроить. Например, взять первыми элементами (на отрезке $[-1,1]$) $\{1,x\}$, а затем добавить ортогональные функции полученные из $\{x^5,x^4,x^3,x^2\}$ $-$ в таком порядке, с помощью процесса Грамма-Шмидта. Будет какая-то ортогональная система, не совпадающая с полиномами Лежанра. Можно просто взять базис (полиномы Лежанра), домножить на ортогональную матрицу, будет другой базис.

[Oam]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1182399 писал(а):

Да. Например, многочлены Якоби, если $\alpha$ и $\beta$ взять четными натуральными числами.

А вы уверены, что весовой фактор при этом не понадобится?

Я уже исследовал на эту тему полиномы Гегенбауэра (это подкласс полиномов Якоби, у которых не два, а только одни параметр), но среди них действительно ортогональным (без необходимости вводить весовой фактор) оказался только ... полином Лежандра, который является частным случаем полиномов Гегенбауаэра, а стало быть, и Якоби.

[ewert]

Oam в сообщении #1182411 писал(а):

Одна лишь беда - отсутствие в базисном наборе функции P0(x)=1.

У Вас какая-то аберрация. Есть в наборе Эрмита и единичка, и икс. Экспонента же никак к собственно набору не относится. Она лишь определяет скалярное произведение, в котором многочлены купаются.

Скалярное же произведение задаёт последовательность многочленов вполне однозначно (с точностью до нормировки). И, в частности, единица и икс будут первыми двумя многочленами всегда, когда промежуток симметричен и скалярное произведение задаётся чётной функцией.

А вот откуда вид скалярного произведение берётся -- это когда как. В случае полиномов Лежандра оно задаётся простейшим образом -- единичной весовой функцией. Кроме того (вернее, вследствие этого) полиномы Лежандра нужны для построения квадратурных формул Гаусса (формул наивысшей возможной точности). Полиномы Чебышёва полезны вообще не по причине ортогональности, а потому, что у них экстремумы выстроены на одном уровне; то, что они при этом ещё и ортогональны с каким-то там весом -- лишь приятный бонус. Многочлены Эрмита интересны тоже не экспонентой, а тем в первую очередь, что через них выражаются собственные функции гармонического осциллятора (правда, ортогональность при этом уже появляется автоматически). И т.д.

[Markiyan Hirnyk]

Вы пишите

Цитата:

А вы уверены, что весовой фактор при этом не понадобится?

Да, уверен. Согласно Вики (У меня такое ощущение, что Вы туда не заглядывали.), надо взять \alpha :=2k$ и $\beta:=2s$, где $k$ и $s$- натуральные числа и вместо многочлена $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ взять многочлен $(1+x)^{\alpha/2} (1-x)^{\beta/2}P_n^{(\alpha,\beta)}(x).$

[Oam]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1182425 писал(а):

Согласно Вики (У меня такое ощущение, что Вы туда не заглядывали.), надо взять \alpha :=2k$ и $\beta:=2s$, где $k$ и $s$- натуральные числа и вместо многочлена $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ взять многочлен $(1+x)^{\alpha/2} (1-x)^{\beta/2}P_n^{(\alpha,\beta)}(x).$

Я туда, конечно, заглядывал, то сложность расчета меня отпугнула.

Не могли бы вы помочь мне вычислить только $P_2(x)$, если $P_0(x)=1$ и $P_1(x)=x$? Но так, чтобы $P_2(x)$ была ортогональна $P_0(x)$ и $P_1(x)$ в обычно понимании, т.е. без привлечения весового фактора? А я бы проверил, так оно или не так. А то я разуверился, что это возможно.
Скажем, у полиномов Лежандра имеем:
$P_0(x) = 1$
$P_1(x) = x$
$P_2(x) = 1/2\cdot(3x^2-1)$
Сложно ли вам получить вместо $P_2(x)$ что-то другое? (если требуется сложный расчет, то только скажите - я не буду настаивать)

Lia: И еще раз исправлено. Наличие долларов по краям формулы обязательно.

[ewert]

Oam в сообщении #1182433 писал(а):

Сложно ли вам получить вместо P2(x) что-то другое?

Несложно, но невозможно:

ewert в сообщении #1182422 писал(а):

Скалярное же произведение задаёт последовательность многочленов вполне однозначно (с точностью до нормировки).

[Oam]

ewert в сообщении #1182422 писал(а):

Скалярное же произведение задаёт последовательность многочленов вполне однозначно (с точностью до нормировки).

Значит, от Лежандра никуда не уйти?

[Lia]

Oam в сообщении #1182435 писал(а):

Значит, от Лежандра никуда не уйти?

Скалярные произведения разные.

Оформляйте формулы $\LaTeX$ом, будьте добры.

[Markiyan Hirnyk]

Oam, Вы пишете

Цитата:

Я туда, конечно, заглядывал, то сложность расчета меня отпугнула.

Не могли бы вы помочь мне вычислить только P2(x), если P0(x)=1 и P1(x)=x ? Но так, чтобы P2(x) была ортогональна P0(x) и P1(x) в обычно понимании, т.е. без привлечения весового фактора? А я бы проверил, так оно или так. А то я разуверился, что это возможно.
Скажем, у полиномов Лежандра имеем:
P0(x) = $1$
P1(x) = $x$
P2(x) = $1/2\cdot(3x^2-1)$
Сложно ли вам получить вместо P2(x) что-то другое? (если требуется сложный расчет, то только скажите - я не буду настаивать)

Все это механизировано в Мэйпле (см. OrthogonalExpansions.).