Бывают ли ортогональные полиномы кроме Лежандра?

[ewert]

Oam в сообщении #1182435 писал(а):

Значит, от Лежандра никуда не уйти?

Никуда. Дело в том, что для каждого многочлена следующей степени количество коэффициентов лишь на единицу превышает количество требований ортогональности к предыдущим. Поэтому те требования определяют новый многочлен однозначно -- естественно, с точностью до произвольного общего числового множителя.

[Slav-27]

Oam в сообщении #1182433 писал(а):

Скажем, у полиномов Лежандра имеем:
$P_0(x) = 1$
$P_1(x) = x$
$P_2(x) = 1/2\cdot(3x^2-1)$
Сложно ли вам получить вместо $P_2(x)$ что-то другое? (если требуется сложный расчет, то только скажите - я не буду настаивать)

А вам надо, чтобы степень $P_2$ была $2$?

Если не надо: берём любую линейную комбинацию $P_3, P_4,\, ...$
А вот если надо, то не получится: пусть есть многочлен 2-й степени, ортогональный $P_0$ и $P_1$ и не кратный $P_2$. Тогда вычитаем его из $P_2$ (домножив) и получаем многочлен степени не выше 1, ортогональный $P_0$ и $P_1$...

[Oam]

ewert в сообщении #1182443 писал(а):

Никуда. Дело в том, что для каждого многочлена следующей степени количество коэффициентов лишь на единицу превышает количество требований ортогональности к предыдущим. Поэтому те требования определяют новый многочлен однозначно -- естественно, с точностью до произвольного общего числового множителя.

Спасибо. Я уже и сам понял. Действительно, как только я задам лишь пару базисных векторов, то следующий, им ортогональный, пойдет в направлении их векторного произведения. И ничего тут поделать нельзя. Т.е. я осознал, что моя постановка задачи решения не имеет - здесь кроме Лежандра других решений быть не может.

В этом случае мне придется ослабить свои требования к условию задачи, а к вам будет просьба оценить, возможно ли то, что я хочу получить или нет.

В новой поставке задачи, первые два ортогональные вектора (единичка и икс) остаются, а в остальном пространстве (после их исчерпывания!) базисы расставляются уже с весовой функцией приглянувшегося мне Эрмита. Такое в принципе возможно?
Т.е. чтобы базисные вектора "эрмитовой" части пространства были ортогональны между собой по своей весовой формуле, но на первые два "неэрмитовых" базисных вектора не проецировались. На первый взгляд, это кажется возможным, т.к. эти два вектора уже "вычерпали" все пространство, которое на них проецировалось, а потому, что бы не происходило в "неэрмитовой" части пространства, на них никогда не отразится. Но тогда и в "эрмитовой" части пространства может полная свобода по части того, что считать ортогональностью, а потому там может быть применен экспоненциальный весовой фактор. Т.е. выглядеть одно должно как прямая сумма двух пространств, первое из которых двумерное.

Но как доходит до дела, то тут я теряюсь, т.к. никак не могу представить себе, как выглядел бы тогда вектор $P_2(x)$ в самом простейшем случае.

[Oam]

Slav-27 в сообщении #1182453 писал(а):

А вам надо, чтобы степень $P_2$ была $2$?
Если не надо: берём любую линейную комбинацию $P_3, P_4,\, ...$
А вот если надо, то не получится: пусть есть многочлен 2-й степени, ортогональный $P_0$ и $P_1$ и не кратный $P_2$. Тогда вычитаем его из $P_2$ (домножив) и получаем многочлен степени не выше 1, ортогональный $P_0$ и $P_1$...

Нет, не надо. Мне безразлична не только эта степень, но и вообще вид функции $P_2(x)$, вплоть до того, что она может быть тригонометрической или даже табличной типа $erfcx(x)$.

Но не могли бы вы не мучить меня :) инструкцией, а просто написать для $P_2(x)$ какое-нибудь готовое выражение, на которое я мог бы посмотреть глазом? А после того, как я пойму, как оно выглядит, появится интерес и к тому, как следует вычислять его и за ним последующие. В противном случае я не уверен, что понял ваши рекомендации настолько правильно, что получу тот результат, на который вы рассчитываете.

[Slav-27]

Oam
$\frac1{\sqrt{2}}(P_3(x)+P_4(x))$

[Oam]

Slav-27 в сообщении #1182471 писал(а):

Oam
$\frac1{\sqrt{2}}(P_3(x)+P_4(x))$

Но ведь $P_3(x)$ и $P_4(x)$ у нас еще не определены!
Я потому и просил написать выражение для $P_2(x)$, что первые два $P_0(x)$ и $P_1(x)$ заданы, как непременное условие. Из-за этого и вопрос задаю "каков следующий?"

Т.е. номер у $P$ сейчас уже не степень, а просто порядковый номер. А потому я не могу определять следующий вектор через еще неопределенные.

[Slav-27]

Вместо $P_3$ и $P_4$ читайте $L_3$ и $L_4$: это многочлены Лежандра (обычные) нормированные на единицу.
Вы можете сделать, например, так: $P_0=L_0$, $P_1=L_1$, $P_2=\frac1{\sqrt2}(L_2+L_3)$, $P_3=\frac1{\sqrt2}(L_2-L_3)$, $P_n=L_n$ при $n\geqslant 4$. Хвост можно портить дальше.

[ewert]

Slav-27 в сообщении #1182476 писал(а):

Вместо $P_3$ и $P_4$ читайте $L_3$ и $L_4$: это многочлены Лежандра (обычные).
Вы можете сделать, например, так: $P_0=L_0$, $P_1=L_1$, $P_2=\frac1{\sqrt2}(L_2+L_3)$, $P_3=\frac1{\sqrt2}(L_2-L_3)$

Ну и ничего с ортогональностью не выйдет.

Впрочем, я пока что твёрдо понял только одно: что ТС сам не понимает, чего он хочет.

[Slav-27]

ewert в сообщении #1182477 писал(а):

Ну и ничего с ортогональностью не выйдет.

Как это, где не выйдет?

[ewert]

Slav-27 в сообщении #1182478 писал(а):

Как это, где не выйдет?

Там не выйдет (см. цитату).

Что у лежандров является условием нормировки (ну или нормализации, но обычно говорят нормировки)?...

[Slav-27]

ewertЭто не страшно, перенормируем на единицу...

[sergei1961]

Как правильно написали, к полюбившимся Вам двум первым функциям можно добавить любые другие линейно независимые, и Грамом-Шмидтом сделать из них ортогональную систему с единичным весом, как Вы хотите. Их будет сколько угодно. Непонятно, почему Вам не нравятся скалярные произведения с другими весами. Ну засуньте этот вес в функции, получится набор функций определённого вида, которые ортогональны с единичным весом. Это всегда можно сделать, в том числе для ф. Эрмита и Лагерра. Можно ещё в скалярное произведение засунуть производные, получится класс ортогональных полиномов, которые условно связывают с именем С.Л.Соболева, их сейчас активно изучают и по ним раскладывают.

[Oam]

sergei1961 в сообщении #1182519 писал(а):

Непонятно, почему Вам не нравятся скалярные произведения с другими весами. Ну засуньте этот вес в функции, получится набор функций определённого вида, которые ортогональны с единичным весом. Это всегда можно сделать, в том числе для ф. Эрмита и Лагерра. Можно ещё в скалярное произведение засунуть производные, получится класс ортогональных полиномов, которые условно связывают с именем С.Л.Соболева, их сейчас активно изучают и по ним раскладывают.

Я этот вопрос сразу в двух своих сообщениях подробно излагал. Для вас изложу в третий раз. Мне нужен базис, во-первых, ортогональный, а во-вторых, с базис-вектором $P_0(x)=1$. И не по очереди, а то и другое сразу!

Если я по вашему совету "засуну этот вес в функции", то базис станет ортогональным (1-ое условие выполнится), но от умножения на этот вес (т.к. он не константа, а $x$-зависимый) $P_0(x) перестанет быть равен единице и превратится в нелинейную функцию веса (2-ое условие нарушится). А если не умножу на вес, то ортогональности не будет (нарушится теперь уже 1-ое условие), хотя 2-ое условие $P_0(x)=1$ будет выполнено. Т.е. ситуация из рода "нос вытащишь - хвост увязнет". И только в случае полиномов Лежандра оба условия выполняются одновременно. А мой вопрос состоял в выяснении того, существуют ли помимо полиномов Лежандра еще какие-либо базисы с аналогичным свойством (удовлетворять обоим условиям сразу). Заметите, что я не требую, чтобы такой базис обязательно принадлежал к классу полиномов. Только Бога ради, не спрашивайте меня, чем мне не угодили полиномы Лежандра!

[mihiv]

Так может быть подойдет просто набор тригонометрических функций: $\cos 2\pi nx, \sin 2\pi nx, n=0, 1,\dots $. Ортогональность здесь есть, 1 входит в набор.

[sergei1961]

Тогда остаётся Грамм-Шмидт с двумя фиксированными Вами функциями и далее практически произвольный набор, хоть полиномы, хоть нет. Эти наборы устраивают, или тоже нет?