Терминология в общей алгебре

[bot]

Anton_Peplov в сообщении #1194568 писал(а):

О, новый виток дискуссии

Ага, буря в стакане воды. Вообще-то я о том, что при отходе от общепринятого принято предупреждать заранее.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1194630 писал(а):

Например, "функция непрерывна на множестве $A$" (т.е. в каждой точке множества $A$) и "сужение функции на множество $A$ непрерывно" - разные утверждения.

Для второго есть понятие "Функция относительно непрерывна на множестве $A$".

[knizhnik]

(Оффтоп)

Mikhail_K в сообщении #1194511 писал(а):

не всюду заданная функция, как, например, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=1/x$.

Если это не всюду заданная функция, то где же она задана? Задана ли она всюду на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, либо только на $\mathbb{Q}$, либо только при строго положительном вещественном аргументе? Понять невозможно. В силу этой неопределенности ваша формула

Mikhail_K в сообщении #1194511 писал(а):

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=1/x$.

неверна и недопустима.

[Mikhail_K]

knizhnik в сообщении #1194947 писал(а):

Если это не всюду заданная функция, то где же она задана? Задана ли она всюду на $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, либо только на $\mathbb{Q}$, либо только при строго положительном вещественном аргументе? Понять невозможно.

Возможно понять. Она задана там, где выражение $1/x$ имеет смысл.
Если же мне нужна другая область определения, я могу её явно задать: например, написать
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=1/x$, $D(f)=\mathbb{Q}\backslash\{0\}$.

Более того, есть раздел математики, в котором $f:X\to Y$, $D(f)=M\subset X$ и та же самая функция $f:M\to Y$ - объекты существенно разные, и это различие нельзя игнорировать (общая теория некорректных задач).
См., например: Бакушинский, Гончарский. Некорректные задачи: численные методы и приложения.

(Если вкратце, то область определения $D(f)\subset X$ может быть какой угодно, а вот в качестве пространства $X$ в записи $f:X\to Y$ по ряду причин стоит выбирать "хорошие" пространства, например банаховы - даже если $f$ будет определена не во всех точках этого пространства. Содержательная разница между $X$ и $D(f)$ в теории некорректных задач заключается в том, что точные входные данные $x$ рассматриваемой задачи обязаны принадлежать $D(f)$, а приближённые входные данные $x_\delta$ - пространству $X$, но не обязаны лежать в $D(f)$.)

Это в теории некорректных задач так. Но и в обычном функциональном анализе язык не всюду определённых отображений явно удобнее. Там часто приходится писать что-то вроде $A:X\to X$, $\overline{D(A)}=X$ - для плотно определённых операторов, скажем, в банаховом пространстве.

[kp9r4d]

Да и вообще, ведь всем понятно, что слово "функция" выражает всего лишь некоторую интенцию, некоторый дискурсивный конструкт, некоторый образ, который далеко не всегда сводится ни к теоретико-множественному (частично определенному) отображению (который, что забавно, что в ФА, что в ТОР называют "графиком функции", а не "функцией"), ни к категорному морфизму, ни к чему-либо ещё в таком духе.