Терминология в общей алгебре

[Anton_Peplov]

Назовем группу скромной, если всякий элемент равен своему обратному, и пышной, если ни один элемент, кроме единицы, не равен своему обратному. Есть ли общепринятые термины для обозначения скромности и пышности групп?

[Nemiroff]

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Boolean_Group

[Anton_Peplov]

Ага, значит, скромная группа называется булевой. Спасибо.

[Anton_Peplov]

Есть ли название у функции $f: \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$ такой, что:
- если $q$ делится на $p$, то $f(q, p) = q/p$;
- иначе $f(q, p) = q$?

[ИСН]

Противоестественная какая-то функция, извините. Точно ли не хотите, чтобы она была равна $q\over\gcd(p,q)$?

[Anton_Peplov]

Не, надо именно так. Ну можно и без названия, она мне понадобилась-то всего в одной теоремке. Возможно, понадобилась бы и в другой, но эту другую уж больно лень доказывать (особенно поскольку пока непонятно, что именно доказывать).

[knizhnik]

Anton_Peplov в сообщении #1193185 писал(а):

Есть ли название у функции $f: \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$ такой, что:
- если $q$ делится на $p$, то $f(q, p) = q/p$;
- иначе $f(q, p) = q$?

Anton_Peplov, этот вопрос не имеет никакого отношения к общей алгебре. Но я полагаю, вам скорее всего простят отступление от темы, а мне - нет. Тем не менее, разберите случай $q=p=0$ и постарайтесь понять, почему не получается функция. А я тем временем буду ждать очередного взыскания за оффтопик (исключительно для себя, конечно).

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1193185 писал(а):

у функции $f: \mathbb N \times \mathbb N \to \mathbb N$

knizhnik в сообщении #1194506 писал(а):

разберите случай $q=p=0$

В России $0\notin\mathbb{N}$.
Но даже если бы $0\in\mathbb{N}$, зачем эта придирка? Ну, получилась бы не всюду заданная функция, как, например, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=1/x$.

[Anton_Peplov]

knizhnik в сообщении #1194506 писал(а):

этот вопрос не имеет никакого отношения к общей алгебре.

Это тот случай, когда Вы правы. Но заводить тему "терминология в элементарной арифметике", учитывая, что вероятность задать в ближайшие годы еще один вопрос на ту же тему я субъективно оцениваю как $< 0.1$, я счел неуместным. Поэтому задал его в существующей теме, наиболее близкой к вопросу.

knizhnik в сообщении #1194506 писал(а):

Тем не менее, разберите случай $q=p=0$ и постарайтесь понять, почему не получается функция.

Существуют две терминологические традиции: $0 \in \mathbb N$ и $0 \notin \mathbb N$. Разберите мое определение и попытайтесь понять, какой из этих традиций я придерживаюсь.

Mikhail_K в сообщении #1194511 писал(а):

Ну, получилась бы не всюду заданная функция, как, например, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=1/x$.

Нет, согласно определению функции (по крайней мере, единственному известному мне - его можно посмотреть, например, у Виро или у Энгелькинга), так все-таки не бывает. Слева от стрелочки стоит область определения, каждый ее элемент должен иметь непустой образ. Вот в области значения - да, допустимы элементы с пустыми прообразами. Впрочем, допускаю, что и здесь могут быть разные терминологические традиции. Встречается же в комплексном анализе термин "многозначные функции", а упомянутое мной определение, помимо прочего, требует, чтобы образ одноэлементного множества был одноэлементен.

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1194544 писал(а):

Нет, согласно определению функции (по крайней мере, единственному известному мне - его можно посмотреть, например, у Виро или у Энгелькинга), так все-таки не бывает. Слева от стрелочки стоит область определения, каждый ее элемент должен иметь непустой образ. Вот в области значения - да, допустимы элементы с пустыми прообразами. Впрочем, допускаю, что и здесь могут быть разные терминологические традиции.

Не везде удобно такое определение функции (отображения, оператора). Например, в функциональном анализе удобнее считать, что оператор может быть задан не всюду: $F:X\to Y$, $D(F)\subset X$.
Другое дело, что во многих местах предполагается, что $D(F)=X$ для всех рассматриваемых отображений.

-- 22.02.2017, 12:40 --

Ну или вот даже есть у Вас вещественная функция $f(x)={\rm{arcsin}}(x^3-3x)$.
Неужели для того, чтобы вообще говорить о ней как о функции, надо думать, где она определена?
Гораздо естественнее понимать её как отображение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, только, может быть, не всюду определённое - вне зависимости от того, что там написано в книгах на этот счёт.

[kp9r4d]

Можно называть более абстрактно: "морфизм" или "стрелка", тогда уже точно не подкопаешься!

[bot]

Mikhail_K в сообщении #1194551 писал(а):

вне зависимости от того, что там написано в книгах на этот счёт.

Встречали мы здесь таких, с нетрадиционными ориентациями.

Mikhail_K в сообщении #1194551 писал(а):

Гораздо естественнее понимать её как отображение $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, только, может быть, не всюду определённое

Гораздо естественнее в этом случае такое отображение просто называть частичным.

[Anton_Peplov]

О, новый виток дискуссии "где границы разумного пуризма". Давайте не будем, а?

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1194562 писал(а):

Гораздо естественнее в этом случае такое отображение просто называть частичным.

Согласен конечно.
Это просто вопрос терминологии - говорить ли об "отображениях" (всегда заданных всюду) и о "частичных отображениях", как предлагаете Вы, или же говорить о "всюду определённых отображениях" и об "отображениях" (вообще говоря, определённых не всюду), как предлагаю я.
Единственное, что я хотел сказать - это то, что "частичные отображения" или "не всюду определённые отображения" - объект, заслуживающий внимания; а как его называть - дело десятое, тем более что общепринятой терминологии здесь нет.

[Anton_Peplov]

Да, я согласен, что терминология "всюду определенное отображение vs отображение" не менее ясна, чем "отображение vs сужение". Вопрос в том, чему пчелы больше доверяют с чем чаще приходится иметь дело - с всюду или не всюду определенными отображениями. Это просто вопрос экономии, неговорения лишних слов.
Ну и, конечно, надо помнить, что в обеих вариантах терминологии по разные стороны "vs" стоят разные понятия, и если их смешивать, можно нарваться на неприятности (с чем, кажется, никто здесь и не спорил). Например, "функция непрерывна на множестве $A$" (т.е. в каждой точке множества $A$) и "сужение функции на множество $A$ непрерывно" - разные утверждения. Из первого следует второе, но не наоборот.