Общий вид членов разложения бинома Ньютона

[eee\]

Справочное пособие по методам решения задач по математике, А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский, 1984 г. (Глава 14, параграф 3) писал(а):

Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по формуле

$$ (a+b)^n=C^0_na^n+C^1_na^{n-1}b+C^2_na^{n-2}b^2+ \dots +C^m_na^{n-m}b^m+ \dots +C^n_nb^n. \eqno{(1)}$$

Правая часть формулы называется разложением степени бинома. Коэффициенты $C^m_n=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$ называются биномиальными коэффициентами. Общий вид слагаемых в правой части формулы $(1)$ обычно записывают в виде

$$T_k=C^k_na^{n-k}b^k,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n. \eqno {(2)}$$

Число всех слагаемых равно $n+1$.

Разве приведённая формула k-го члена разложения верна?
Например, из неё следует, что в разложении $(a+b)^n$ первый член равен $C^1_na^{n-1}b$, хотя он в действительности не содержит $b$. Получается, по логике этого учебника, одночлен, стоящий первым в разложении бинома ($a^n$), является нулевым членом разложения. (Соответственно, что стоит вторым - первый член, что стоит третьим - второй член, ... и т.д.) Это разве правильно (или так просто принято? (или принято только в этом учебнике ))?
По-моему, правильно так: $T_k=C^{k-1}_na^{n-k+1}b^{k-1}$ или $T_{k+1}=C^k_na^{n-k}b^k$. Да?

[Lia]

Там написано, как $k$ меняется. Вовсе не с единицы.

[eee\]

Ну да, с нуля. Просто, в других источниках (учебниках) под $T_k$ имеют в виду член, стоящий на $k$-м месте. А здесь $T_0$ - стоящий на 1-ом месте, $T_1$ - стоящий на 2-ом месте и т.д.

[Lia]

Как чего назовешь, так оно и поплывет.
Назвали нулевым. Вполне естественная нумерация, в порядке возрастания степени вхождения $b$ в мономы.

[arseniiv]

Вот никогда не понимал искусственное приведение интервалов к начинающимся по вкусам автора либо всем с нуля, либо всем с единицы — ну ведь разное удобнее в разных случаях.

[bot]

В формуле указаны зависимость слагаемых от индекса и мешок множество индексов. Никто не заставляет слагать складываемые в каком-то порядке. Первым можно поставить любой член, например с индексом $2$ или $n-1.$

[eee\]

Значит, итог таков, что в разных источниках сочетание слов "$k$-ый член разложения" может подразумевать не одно и то же? Если, например, на экзамене встретится это сочетание, как понять, что там имеется в виду? (Не на ЕГЭ каком-нибудь, когда понятно, что объяснял преподаватель на уроках - то и имеется в виду, а, например, на экзамене в ВУЗ)

arseniiv в сообщении #1179094 писал(а):

ну ведь разное удобнее в разных случаях.

Получается, это "удобнее" к разногласиям приводит...

bot в сообщении #1179107 писал(а):

Никто не заставляет слагать складываемые в каком-то порядке.

Судя по большому количеству задач на бином Ньютона типа "Найти $k$-ый член разложения ...", заставляют...

[bot]

eee\ в сообщении #1179108 писал(а):

Найти $k$-ый член разложения

Да, это неудачная формулировка.

-- Чт дек 22, 2016 11:04:42 --

Но что-то в больших количествах я таких задач не припоминаю. Обычно смысл спрашиваемого легко усматривается из контекста или, в конце концов, из ответа.

[Евгений Машеров]

Так ведь и по определению натуральных чисел есть разногласия - является ли 0 натуральным числом...
В общем, это вопрос соглашения.

[bot]

Когда ряды рассказывал, обычно сразу предупреждал, что под $k$-м членом всегда (если специально не скажу другого) буду предполагать член с индексом $k$. Иначе путаница будет не только из-за разногласия с натуральностью нуля. Вот, скажем, $-\frac{x^3}{3!}$ - это какой член разложения синуса по формуле Тейлора, третий или четвёртый?

[StaticZero]

bot в сообщении #1179119 писал(а):

третий или четвёртый?

Я б сказал, что второй.

[bot]

Эта ненаучная гипотеза в мыслях было, но вслух произнести побоялся.

[SomePupil]

bot в сообщении #1179119 писал(а):

третий или четвёртый?

Третий $-$ в этом случае удобно по степеням нумеровать.

[bot]

Вот. А степень в ряде Тейлора - это порядок производной, он и является индексом суммирования. И плевать нам на не/натуральность нуля, а также на обращение в нуль некоторых членов ряда.

[StaticZero]

bot в сообщении #1179124 писал(а):

Эта ненаучная гипотеза

Но ведь для просто устроенных и хорошо всем известных рядов можно же нумеровать только отличные от нуля члены? Или это по каким-то причинам плохо?